Questão 1. Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,0 pt) x y^prime+3 y=x^5, x>0.

Passo 1

O exercício pede pra resolver a EDO
x,y' + 3y = x^5, x>0
Isso é matéria de equações diferenciais de 1ª ordem, do tipo linear. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y' + 3x,y = x^4
Aqui identificamos
p(x)=3x, q(x)=x^4

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x), definido por
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral 3x,dx = e^3ln x = x^3
A ideia é que, multiplicando a EDO por mu(x), o lado esquerdo vira a derivada do produto mu(x),y.

Passo 4

Multiplicando tudo por x^3, a equação fica
x^3y' + 3x^2y = x^7
Repare que, pela regra do produto, o lado esquerdo é
(x^3y)' = x^3y' + 3x^2y

Passo 5

Agora integramos dos dois lados:
integral (x^3y)' ,dx = integral x^7 ,dx
  • A primeira integral retorna x^3y.
  • Na segunda usamos a regra de potência integral x^n,dx = x^n+1/(n+1), logo integral x^7,dx = x^8/8 + C.
    Ficamos com
x^3y = x^88 + C Longrightarrow y = x^88x^3 + Cx^-3 = x^58 + Cx^-3

Resposta

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