1^circ ) Questão (7,5 ptos, onde cada item vale 2,5 ptos cada). Dada a função vetorial r(t), calcule os seguintes limites, caso exista:
lim t 0(tg(3 t)t, e^2 t-1t, ln |t-1|t)

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto0, do vetor cujas componentes são tg(3t)t, e^2t-1t e ln|t-1|t. Vamos usar propriedades de limites e expansões para funções elementares (pequeno ângulo para a tangente, série de Taylor de e^x e expansão de ln(1-x)).

Passo 2

Para a primeira componente, use a substituição x=3t. Temos
tan(3t)t =tan xx,xt =tan xxcdot3
Como limxto0tan xx=1, conclui-se que
limtto0tan(3t)t=1cdot3=3

Passo 3

Para a segunda componente, ponha u=2t. Então
e^2t-1t =e^u-1u,ut =e^u-1ucdot2
Sabendo que limuto0e^u-1u=1, segue
limtto0e^2t-1t=1cdot2=2

Passo 4

Para a terceira componente, note que, para t perto de zero, t-1<0 mas |t-1|=1-t e
ln|t-1|=ln(1-t)=-t+o(t)
Logo
ln|t-1|t=-t+o(t)tto -1

Resposta

l(3,,2,,-1r)

Exercícios relacionados