ExERCÍcio 4. Determine a equação da reta tangente ao traço da curva gamma: R R^2 no ponto t0 nos seguintes casos:
gamma(t)=(sin (t), cos (t), t) e t0=pi.

Passo 1

O enunciado define a curva paramétrica
gamma:RtoR^3 dada por
gamma(t)=(sin t,cos t,t)
e pede a reta tangente ao traço de gamma no ponto t0=pi. Para isso precisamos achar (i) o ponto gamma(pi) e (ii) o vetor tangente gamma'(pi).

Passo 2

Calculamos o ponto em t=pi:
gamma(pi)=(sinpi,cospi,pi)=(0,-1,pi)

Passo 3

Derivamos gamma(t) em relação a t:
gamma'(t)=(cos t,,-sin t,,1)

Passo 4

Avalia-mos o vetor tangente em t=pi:
gamma'(pi)=(cospi,,-sinpi,,1)=(-1,0,1)

Passo 5

A reta tangente em forma vetorial usa o ponto gamma(pi) e a direção gamma'(pi):
r(s)=gamma(pi)+s,gamma'(pi)=(0,-1,pi)+s,(-1,0,1)
Em forma paramétrica:
x(s)=-s, y(s)=-1, z(s)=pi+s

Resposta

Reta tan>=nte: r(s)=(0,-1,pi)+s,(-1,0,1)

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