Resolva o seguinte problema de valor inicial:
com as condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, e as condições iniciais são
e
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos
por
,
por
, e
por 1, ficando assim:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), teremos raízes complexas.
Passo 4
As raízes complexas são dadas por:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Quando temos raízes da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Então,
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 7
Agora, derivamos
para achar
:
Derivando:
Aplicamos
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: