Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y^prime prime+6 y^prime+13 y=0 com as condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: y'' + 6y' + 13y = 0 , e as condições iniciais são y(0) = 0 e y'(0) = 5 . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação característica dessa equação diferencial. Substituímos y'' por r^2 , y' por r , e y por 1, ficando assim:
r^2 + 6r + 13 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r . Usamos a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = 6 e c = 13 . Calculando o discriminante:
De<a = 6^2 - 4 cdot 1 cdot 13 = 36 - 52 = -16
Como o discriminante é negativo ( De<a < 0 ), teremos raízes complexas.

Passo 4

As raízes complexas são dadas por:
r = -6 pm raiz-162 = -6 pm 4i2 = -3 pm 2i
Então, as raízes são r = -3 + 2i e r = -3 - 2i .

Passo 5

Quando temos raízes da forma alpha pm beta i , a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = e^alpha t (C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t))
No nosso caso, alpha = -3 e beta = 2 . Então,
y(t) = e^-3t (C1 cos(2t) + C2 sin(2t))

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de C1 e C2 .
Primeiro, aplicamos y(0) = 0 :
y(0) = e^-3 cdot 0 (C1 cos(0) + C2 sin(0)) = 1 cdot (C1 cdot 1 + C2 cdot 0) = C1 = 0
Então, C1 = 0 .

Passo 7

Agora, derivamos y(t) para achar y'(t) :
y(t) = e^-3t (0 cdot cos(2t) + C2 sin(2t)) = C2 e^-3t sin(2t)
Derivando:
y'(t) = C2 ( -3 e^-3t sin(2t) + e^-3t cdot 2 cos(2t) ) = e^-3t (-3 sin(2t) + 2 cos(2t)) C2
Aplicamos y'(0) = 5 :
y'(0) = e^0 (-3 sin(0) + 2 cos(0)) C2 = (0 + 2 cdot 1) C2 = 2 C2 = 5
Então, C2 = 52 .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = 52 e^-3t sin(2t)

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