1. Seja um prisma reto de base quadrada inscrito em um cilindro reto com 2 m de altura e raio 1,5 \mathrm{~m}.
    a) Calcule o volume do prisma.
    b) Qual é a diferença entre o volume do prisma e o do cilindro?

Passo 1

O enunciado dá um prisma reto de base quadrada inscrito num cilindro reto de altura 2 m e raio 1{,}5 m. Isso envolve geometria de sólidos: vamos precisar relacionar o quadrado inscrito a um círculo (base do cilindro) e depois usar as fórmulas de volume de prisma e de cilindro.

Passo 2

Para o quadrado inscrito no círculo de raio R=1{,}5 m, a diagonal do quadrado vale o diâmetro do círculo, ou seja 2R. Se chamarmos de s o lado do quadrado, pelo Teorema de Pitágoras temos
s\sqrt{2} = 2R
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s = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} = 1{,}5\sqrt{2}\,\text{m}.

Passo 3

A área da base quadrada é
\text{Área}_{\text{base}} = s^2 = \bigl(1{,}5\sqrt{2}\bigr)^2 = 1{,}5^2 \times 2 = 2{,}25\times2 = 4{,}5\\ \text{m}^2.Á

Passo 4

O volume do prisma é a área da base vezes a altura h=2 m:
V_{\text{prisma}} = \text{Área}_{\text{base}}\times h = 4{,}5 \times 2 = 9\\ \text{m}^3.Á

Passo 5

O volume do cilindro é dado por \pi R^2 h, com R=1{,}5 m e h=2 m:
V_{\text{cilindro}} = \pi \times (1{,}5)^2 \times 2 = \pi \times 2{,}25 \times 2 = 4{,}5\pi\\ \text{m}^3.

Passo 6

A diferença entre os volumes (cilindro menos prisma) é
\Delta V = V_{\text{cilindro}} - V_{\text{prisma}} = 4{,}5\pi - 9\\ \text{m}^3.

Resposta

a) O volume do prisma é 9\\ \mathrm{m}^3.
b) A diferença entre os volumes é 4{,}5\pi - 9\\ \mathrm{m}^3 (aproximadamente 5{,}14\\ \mathrm{m}^3).

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