Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente determinar se uma série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente também precisa descobrir qual é a soma dela. A série que estamos analisando é:
Vamos usar o conceito de série geométrica para resolver isso. Séries geométricas são aquelas em que cada termo é um múltiplo fixo do termo anterior. Precisamos identificar o primeiro termo e a razão da série para verificar se ela converge e, se sim, encontrar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série. Na nossa série, quando $ n = 1 $:
Então, o primeiro termo $ a $ é $ \frac{2}{3} $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a razão $ r $ da série geométrica. A razão é o número pelo qual multiplicamos cada termo para chegar no próximo. Observando a expressão geral:
Podemos ver que a razão $ r $ é $ -\frac{1}{3} $.
Passo 4
Com o primeiro termo $ a = \frac{2}{3} $ e a razão $ r = -\frac{1}{3} $, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica convergir, a razão precisa satisfazer:
No nosso caso:
Como a condição é satisfeita, a série é convergente.
Passo 5
Como a série é convergente, podemos encontrar a soma $ S $ dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica: