Determine o comprimento da curva.
x=e^t-t, y=4 e^t / 2, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o comprimento da curva definida pelas equações paramétricas $ x = e^{t} - t $ e $ y = 4 e^{t / 2} $, para $ t $ entre 0 e 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas paramétricas. Vamos precisar calcular derivadas e integrar para achar o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos $ x = x(t) $ e $ y = y(t) $, o comprimento da curva de $ t = a $ até $ t = b $ é dado por:
x = x(t)
Ou seja, a gente precisa encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $, elevar ao quadrado, somar, tirar a raiz quadrada e integrar esse resultado de 0 a 1.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Para $ x = e^{t} - t $:
x
Para $ y = 4 e^{t / 2} $:
y

Passo 4

Agora, vamos elevar ao quadrado cada uma dessas derivadas e somar:
(dxdt)^2 + (dydt)^2 = (e^t - 1)^2 + (2 e^t / 2)^2
Vamos simplificar cada termo:
(e^t - 1)^2 = e^2t - 2 e^t + 1
(2 e^t / 2)^2 = 4 e^t
Somando os dois:
e^2t - 2 e^t + 1 + 4 e^t = e^2t + 2 e^t + 1

Passo 5

Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
L = integral0^1 raize^2t + 2 e^t + 1 , dt
Perceba que dentro da raiz temos uma expressão que pode ser simplificada.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
e^2t + 2 e^t + 1 = (e^t + 1)^2
Portanto:
L = integral0^1 raiz(e^t + 1)^2 , dt = integral0^1 (e^t + 1) , dt
Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (e^t + 1) , dt = e^t + t + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos calculando um valor definido entre 0 e 1, podemos ignorar $ C $.
Avalie de 0 a 1:
C

Resposta

O comprimento da curva é igual a $ e $ unidades.

Exercícios relacionados