Determine o comprimento da curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o comprimento da curva definida pelas equações paramétricas $ x = e^{t} - t $ e $ y = 4 e^{t / 2} $, para $ t $ entre 0 e 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre comprimento de curvas paramétricas. Vamos precisar calcular derivadas e integrar para achar o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos $ x = x(t) $ e $ y = y(t) $, o comprimento da curva de $ t = a $ até $ t = b $ é dado por:
Ou seja, a gente precisa encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $, elevar ao quadrado, somar, tirar a raiz quadrada e integrar esse resultado de 0 a 1.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Para $ x = e^{t} - t $:
Para $ y = 4 e^{t / 2} $:
Passo 4
Agora, vamos elevar ao quadrado cada uma dessas derivadas e somar:
Vamos simplificar cada termo:
Somando os dois:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Perceba que dentro da raiz temos uma expressão que pode ser simplificada.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Portanto:
Agora, vamos integrar termo a termo:
Onde $ C $ é a constante de integração. Como estamos calculando um valor definido entre 0 e 1, podemos ignorar $ C $.
Avalie de 0 a 1:
Resposta
O comprimento da curva é igual a $ e $ unidades.