Determine a área da superfície:
A parte da esfera x^2+y^2+z^2=c^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=cx e acima do plano xy.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da esfera
x^2+y^2+z^2=c^2
que está dentro do cilindro
x^2+y^2=c,x
e acima do plano xy. O conteúdo é cálculo de área de superfície usando coordenadas esféricas.

Passo 2

Parametrizamos a esfera em coordenadas esféricas de raio fixo c:
x = csinvarphicostheta, y = csinvarphisintheta, z = ccosvarphi,
com varphiin[0,pi/2] (acima do plano xy) e thetain[0,2pi). O elemento de área é
dS = c^2sinvarphi,dvarphi,dtheta

Passo 3

Traduzimos a condição do cilindro x^2+y^2=c,x em esféricas:
c^2sin^2varphi = cl(csinvarphicosthetar) ;Longrightarrow; sinvarphi = costheta
Como sinvarphi>=0, costheta>=0, segue thetain[-tfracpi2,tfracpi2] e, para cada theta, varphi varia de 0 até
varphimax(theta) = arcsin!l(costhetar)

Passo 4

Montamos a integral da área sobre essa região:
Área =integraltheta=-pi/2^pi/2integralvarphi=0^arcsin(costheta) c^2sinvarphi,dvarphi,dtheta Á
Integramos primeiro em varphi:
integral0^arcsin(costheta)sinvarphi,dvarphi =1-cosl(arcsin(costheta)r) =1-raiz1-cos^2theta =1-|sintheta|

Passo 5

Portanto
Área = c^2integral-pi/2^pi/2l(1-|sintheta|r),dtheta = c^2l[underbraceintegral-pi/2^pi/21,dtheta=pi -underbraceintegral-pi/2^pi/2|sintheta|,dtheta=2r] = c^2(pi-2) Á

Resposta

Área = c^2(pi - 2) Á

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