Determine a área da superfície:
A parte do plano
que está dentro do cilindro
A parte do plano
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área da parte do plano
que está dentro do cilindro definido por
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais para determinar a área dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas:
- Plano: A equação
representa um plano no espaço tridimensional. - Cilindro: A equação
descreve um cilindro circular de raio 4, centrado no eixo z.
Queremos encontrar a área da parte do plano que está “dentro” desse cilindro.
Passo 3
Para calcular a área da superfície, podemos usar uma fórmula que envolve a derivada parcial da função que define o plano. Primeiro, vamos expressar
em função de
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
A fórmula para a área da superfície
sobre a região
no plano
é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a área da região
, que é a interseção do cilindro
com o plano. Essa região é simplesmente um círculo de raio 4 no plano
.
A área de um círculo é dada por:
Onde
, então:
Passo 6
Agora, voltando à nossa expressão para
:
Resposta
A área da superfície é
unidades quadradas.