Determine a área da superfície:
A parte do plano 2x+5y+z=10 que está dentro do cilindro x^2+y^2=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a área da parte do plano 2x + 5y + z = 10 que está dentro do cilindro definido por x^2 + y^2 = 16. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo de integrais para determinar a área dessa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as figuras envolvidas:
  • Plano: A equação 2x + 5y + z = 10 representa um plano no espaço tridimensional.
  • Cilindro: A equação x^2 + y^2 = 16 descreve um cilindro circular de raio 4, centrado no eixo z.
Queremos encontrar a área da parte do plano que está “dentro” desse cilindro.

Passo 3

Para calcular a área da superfície, podemos usar uma fórmula que envolve a derivada parcial da função que define o plano. Primeiro, vamos expressar z em função de x e y:
z = 10 - 2x - 5y
Agora, calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = -2
partial zpartial y = -5

Passo 4

A fórmula para a área da superfície A sobre a região D no plano xy é:
A = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Substituindo as derivadas que encontramos:
A = integral duplaD raiz1 + (-2)^2 + (-5)^2 , dx , dy
A = integral duplaD raiz1 + 4 + 25 , dx , dy
A = integral duplaD raiz30 , dx , dy
A = raiz30 integral duplaD , dx , dy

Passo 5

Agora, precisamos calcular a área da região D, que é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 16 com o plano. Essa região é simplesmente um círculo de raio 4 no plano xy.
A área de um círculo é dada por:
Área = pi r^2 Á
Onde r = 4, então:
Área = pi (4)^2 = 16pi Á

Passo 6

Agora, voltando à nossa expressão para A:
A = raiz30 times 16pi
A = 16raiz30 pi

Resposta

A área da superfície é 16raiz30 pi unidades quadradas.

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