Obtenha uma parametrização vec{r}: D \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} das seguintes superfícies em \mathbb{R}^{3}, destacando o domínio D :
elipsoide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização \vec{r}: D \subset \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{3} da superfície elipsoide dada por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1.
Informações dadas que vamos usar: \;a,b,c>0 (constantes positivas que definem os semi-eixos do elipsoide).\n
Pergunta explícita: encontrar uma fórmula \vec{r}(u,v) que descreva todos os pontos (x,y,z) da superfície e indicar claramente o domínio D dos parâmetros (intervalos de u e v).\n

Passo 2

Ideia-prática (sem pular passos): vamos pegar a parametrização padrão da esfera unidade e depois esticá-la nas três direções para obter o elipsoide. Primeiro, lembro como parametrizar a esfera unidade: use dois parâmetros angulares \theta (azimute) e \varphi (colatitude). Definição da esfera unidade em coordenadas esféricas (padrão):
X=\sin\varphi\cos\theta,\qquad Y=\sin\varphi\sin\theta,\qquad Z=\cos\varphi,
com os intervalos
0\le \theta < 2\pi,\qquad 0\le \varphi \le \pi.
Aqui \varphi mede o ângulo a partir do eixo z (colatitude) e \theta é o ângulo no plano xy (azimute). Essa parametrização percorre toda a esfera unidade porque para cada direção no espaço existe um par (\theta,\varphi) que dá o vetor unitário naquela direção.\n

Passo 3

Agora a “mágica” simples: o elipsoide é a imagem da esfera unidade por um alongamento (dilatação) diferente em cada eixo. Se na esfera temos (X,Y,Z) com X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1, então a transformação linear
(x,y,z)=(aX,\; bY,\; cZ)
leva a esfera no elipsoide. Para verificar algebraicamente, substituo na equação do elipsoide:
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} =\frac{(aX)^{2}}{a^{2}}+\frac{(bY)^{2}}{b^{2}}+\frac{(cZ)^{2}}{c^{2}} =X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,
portanto todo ponto construído assim pertence ao elipsoide. Isso mostra que a composição “parametrização da esfera” + "escalamento por a,b,c" produz uma parametrização do elipsoide.\n

Passo 4

Escrevendo explicitamente a parametrização em termos dos parâmetros \theta e \varphi, obtemos:
\vec{r}(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\varphi\cos\theta,\; b\sin\varphi\sin\theta,\; c\cos\varphi\bigr).
Aqui:
  • \theta varia em [0,2\pi) e discrimina direções no plano xy;\n
  • \varphi varia em [0,\pi] e vai do polo norte ( \varphi=0) ao polo sul ( \varphi=\pi).\n
    O domínio natural é então
D=\{(\theta,\varphi)\mid 0\le \theta<2\pi,\; 0\le \varphi\le \pi\}.
Observação importante para a prova: nos polos ( \varphi=0 e \varphi=\pi) o valor de \theta não altera o ponto (são pontos singulares da parametrização no sentido de coordenada), mas isso é normal — a superfície está bem descrita; só existe degenerescência coordenada nesses pontos.\n

Passo 5

Verificações e dicas para a hora da prova (passo a passo prático):
  1. Para construir parametrizações de superfícies “tipo esfera”, tente primeiro parametrizar a esfera unidade e depois aplique transformações lineares (escalamentos, rotações) conforme a forma pedida. Isso é rápido e confiável.\n
  2. Sempre confirme substituindo a parametrização na equação da superfície (como eu fiz no Passo 3) — isso prova que a parametrização está correta.\n
  3. Se for necessário calcular vetores tangentes ou norma (por exemplo para área ou normal unitário), compute as derivadas parciais
\vec{r}_{\theta}(\theta,\varphi)=\bigl(-a\sin\varphi\sin\theta,\; b\sin\varphi\cos\theta,\;0\bigr),
\vec{r}_{\varphi}(\theta,\varphi)=\bigl(a\cos\varphi\cos\theta,\; a\cos\varphi\sin\theta,\; -c\sin\varphi\bigr)
(e cuidado ao simplificar — eu escrevi o segundo componente com b originalmente; corrigindo: a derivada é)
\vec{r}_{\varphi}(\theta,\varphi)=\bigl(a\cos\varphi\cos\theta,\; b\cos\varphi\sin\theta,\; -c\sin\varphi\bigr).
Esses vetores são úteis para obter a normal (cruzamento) e a área elementar. Eles são linearmente independentes para 0<\varphi<\pi, garantindo suavidade da parametrização nessa faixa.\n
4. Se preferir outros parâmetros (por exemplo latitude \lambda\in[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] e longitude u\in[0,2\pi)), pode usar a transformação \varphi=\tfrac{\pi}{2}-\lambda e escrever equivalentes formulas; o resultado é o mesmo, apenas outra escolha de coordenadas.\n

Resposta

\displaystyle \vec{r}(\theta,\varphi)=\bigl(a\sin\varphi\cos\theta,\; b\sin\varphi\sin\theta,\; c\cos\varphi\bigr)\n
\displaystyle D=\{(\theta,\varphi)\mid 0\le \theta<2\pi,\;0\le \varphi\le \pi\}

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