Obtenha uma parametrização
das seguintes superfícies em
, destacando o domínio
:
elipsoide
elipsoide
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização
da superfície elipsoide dada por
Informações dadas que vamos usar:
(constantes positivas que definem os semi-eixos do elipsoide).\n
Pergunta explícita: encontrar uma fórmula que descreva todos os pontos
da superfície e indicar claramente o domínio
dos parâmetros (intervalos de
e
).\n
Pergunta explícita: encontrar uma fórmula
Passo 2
Ideia-prática (sem pular passos): vamos pegar a parametrização padrão da esfera unidade e depois esticá-la nas três direções para obter o elipsoide. Primeiro, lembro como parametrizar a esfera unidade: use dois parâmetros angulares
(azimute) e
(colatitude). Definição da esfera unidade em coordenadas esféricas (padrão):
com os intervalos
Aqui
mede o ângulo a partir do eixo
(colatitude) e
é o ângulo no plano
(azimute). Essa parametrização percorre toda a esfera unidade porque para cada direção no espaço existe um par
que dá o vetor unitário naquela direção.\n
Passo 3
Agora a “mágica” simples: o elipsoide é a imagem da esfera unidade por um alongamento (dilatação) diferente em cada eixo. Se na esfera temos
com
, então a transformação linear
leva a esfera no elipsoide. Para verificar algebraicamente, substituo na equação do elipsoide:
portanto todo ponto construído assim pertence ao elipsoide. Isso mostra que a composição “parametrização da esfera” + "escalamento por
" produz uma parametrização do elipsoide.\n
Passo 4
Escrevendo explicitamente a parametrização em termos dos parâmetros
e
, obtemos:
Aqui:
-
varia em e discrimina direções no plano ;\n -
varia em e vai do polo norte ( ) ao polo sul ( ).\n
O domínio natural é então
Observação importante para a prova: nos polos (
e
) o valor de
não altera o ponto (são pontos singulares da parametrização no sentido de coordenada), mas isso é normal — a superfície está bem descrita; só existe degenerescência coordenada nesses pontos.\n
Passo 5
Verificações e dicas para a hora da prova (passo a passo prático):
- Para construir parametrizações de superfícies “tipo esfera”, tente primeiro parametrizar a esfera unidade e depois aplique transformações lineares (escalamentos, rotações) conforme a forma pedida. Isso é rápido e confiável.\n
- Sempre confirme substituindo a parametrização na equação da superfície (como eu fiz no Passo 3) — isso prova que a parametrização está correta.\n
- Se for necessário calcular vetores tangentes ou norma (por exemplo para área ou normal unitário), compute as derivadas parciais
(e cuidado ao simplificar — eu escrevi o segundo componente com
originalmente; corrigindo: a derivada é)
Esses vetores são úteis para obter a normal (cruzamento) e a área elementar. Eles são linearmente independentes para
, garantindo suavidade da parametrização nessa faixa.\n
4. Se preferir outros parâmetros (por exemplo latitude e longitude
), pode usar a transformação
e escrever equivalentes formulas; o resultado é o mesmo, apenas outra escolha de coordenadas.\n
4. Se preferir outros parâmetros (por exemplo latitude