Determine a área da superfície que é parte do paraboloide hiperbólico z=y^2-x^2 que está entre os cilindros x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área de uma parte do paraboloide hiperbólico dado por z = y^2 - x^2 que está entre dois cilindros: x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 . Para isso, vamos usar cálculo de áreas de superfícies, especificamente integrando sobre a região delimitada pelos cilindros.

Passo 2

Primeiro, como temos cilindros definidos por x^2 + y^2 = 1 e x^2 + y^2 = 4 , é uma boa ideia mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, x = r cos theta e y = r sin theta , e x^2 + y^2 = r^2 . Isso simplifica nossos limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função z = y^2 - x^2 em relação a x e y , que são necessárias para calcular a área da superfície.
partial zpartial x = -2x
partial zpartial y = 2y

Passo 4

A fórmula para a área de uma superfície z = f(x, y) é:
Área = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dA Á
Substituindo as derivadas que encontramos:
raiz1 + (-2x)^2 + (2y)^2 = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 = raiz1 + 4r^2

Passo 5

Convertendo para coordenadas polares, a área fica:
Área = integral0^2pi integral1^2 raiz1 + 4r^2 cdot r , dr , dtheta Á
Primeiro, integramos em relação a r :
integral1^2 r raiz1 + 4r^2 , dr
Fazendo a substituição u = 1 + 4r^2 , du = 8r , dr , então r , dr = du8 :
18 integral5^17 raizu , du = 18 cdot 23 ( u^3/2 ) |5^17 = 112 ( 17^3/2 - 5^3/2 )
Agora, integramos em relação a theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
Área = 2pi cdot 112 ( 17^3/2 - 5^3/2 ) = pi6 ( 17^3/2 - 5^3/2 ) Á

Resposta

A área da superfície é pi6 ( 17^3/2 - 5^3/2 ) unidades de área.

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