Determine a área da superfície que é parte do paraboloide hiperbólico que está entre os cilindros e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a área de uma parte do paraboloide hiperbólico dado por que está entre dois cilindros: e . Para isso, vamos usar cálculo de áreas de superfícies, especificamente integrando sobre a região delimitada pelos cilindros.
Passo 2
Primeiro, como temos cilindros definidos por e , é uma boa ideia mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e . Isso simplifica nossos limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e , que são necessárias para calcular a área da superfície.
Passo 4
A fórmula para a área de uma superfície é:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 5
Convertendo para coordenadas polares, a área fica:
Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , então :
Agora, integramos em relação a theta :
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
Área = 2pi cdot 112 ( 17^3/2 - 5^3/2 ) = pi6 ( 17^3/2 - 5^3/2 ) Á
Resposta
A área da superfície é pi6 ( 17^3/2 - 5^3/2 ) unidades de área.