Obtenha a relação entre a velocidade do paraquedista e o tempo. A condição inicial é v(0)= v0. Proponha um gráfico para a sua solução e interprete. Dica: Utilize a integral
integral d u1-u^2=tgh^-1(u)+c
Parachutist
m v^prime=m g-b v^2

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede e quais conceitos precisamos usar. A gente quer descobrir como a velocidade de um paraquedista varia com o tempo, dados que ele começa com uma velocidade inicial v0. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, especificamente integrando a equação dada para encontrar a relação entre velocidade e tempo.

Passo 2

A equação que temos é:
m dvdt = m g - b v^2
Aqui, m é a massa do paraquedista, g é a aceleração da gravidade, b é uma constante que representa a resistência do ar, e dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por m:
dvdt = g - bm v^2
Vamos chamar bm de k para facilitar:
dvdt = g - k v^2

Passo 4

Agora, queremos separar as variáveis v e t para poder integrar. Vamos rearranjar a equação:
dvg - k v^2 = dt
Assim, a gente tem tudo com v de um lado e tudo com t do outro.

Passo 5

Vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
integral dvg - k v^2
Para resolver essa integral, vamos fatorar g:
integral dvg(1 - kg v^2) = 1g integral dv1 - (raizkg v)^2
A gente pode usar a dica da integral:
integral du1 - u^2 = tgh^-1(u) + C
Aplicando isso, temos:
1g tgh^-1(raizkg v ) = t + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial v(0) = v0 para encontrar a constante C. Substituindo t = 0 e v = v0:
1g tgh^-1(raizkg v0 ) = 0 + C
Então:
C = 1g tgh^-1(raizkg v0 )

Passo 7

Substituindo C de volta na equação, temos:
1g tgh^-1(raizkg v ) = t + 1g tgh^-1(raizkg v0 )
Multiplicando ambos os lados por g:
tgh^-1(raizkg v ) = g t + tgh^-1(raizkg v0 )

Passo 8

Para resolver para v, aplicamos a função hiperbólica tangente nos dois lados:
raizkg v = tgh(g t + tgh^-1(raizkg v0 ))
Multiplicando por raizgk:
v(t) = raizgk tgh(g t + tgh^-1(raizkg v0 ))

Resposta

A relação entre a velocidade do paraquedista e o tempo é:
v(t) = raizgk tgh(g t + tgh^-1(raizkg v0 ))
onde k = bm.
Interpretação do Gráfico:
O gráfico de v(t) versus t mostra como a velocidade do paraquedista aumenta com o tempo, começando de v0 e se aproximando de uma velocidade terminal. A velocidade terminal é o ponto onde a força da gravidade ( m g) é equilibrada pela resistência do ar ( b v^2), resultando em uma velocidade constante para o paraquedista.

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