Obtenha a relação entre a velocidade do paraquedista e o tempo. A condição inicial é
. Proponha um gráfico para a sua solução e interprete. Dica: Utilize a integral
Parachutist
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede e quais conceitos precisamos usar. A gente quer descobrir como a velocidade de um paraquedista varia com o tempo, dados que ele começa com uma velocidade inicial
. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais, especificamente integrando a equação dada para encontrar a relação entre velocidade e tempo.
Passo 2
A equação que temos é:
Aqui,
é a massa do paraquedista,
é a aceleração da gravidade,
é uma constante que representa a resistência do ar, e
é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por
:
Vamos chamar
de
para facilitar:
Passo 4
Agora, queremos separar as variáveis
e
para poder integrar. Vamos rearranjar a equação:
Assim, a gente tem tudo com
de um lado e tudo com
do outro.
Passo 5
Vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
Para resolver essa integral, vamos fatorar
:
A gente pode usar a dica da integral:
Aplicando isso, temos:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Então:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Para resolver para
, aplicamos a função hiperbólica tangente nos dois lados:
Multiplicando por
:
Resposta
A relação entre a velocidade do paraquedista e o tempo é:
onde
.
Interpretação do Gráfico:
O gráfico de
versus
mostra como a velocidade do paraquedista aumenta com o tempo, começando de
e se aproximando de uma velocidade terminal. A velocidade terminal é o ponto onde a força da gravidade (
) é equilibrada pela resistência do ar (
), resultando em uma velocidade constante para o paraquedista.