Determine a área da superfície:
A parte do plano
que está acima do retângulo
.
A parte do plano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a área da superfície do plano
que está acima de um retângulo no plano xy, especificamente o retângulo com
entre 1 e 3 e
entre 2 e 5. Isso está na área de cálculo, mais precisamente no cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Vamos precisar usar a fórmula que envolve as derivadas parciais da função que define o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para calcular a área de uma superfície definida por
. A fórmula é:
Aqui,
é a região no plano xy sobre a qual queremos calcular a área.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Agora, vamos calcular a área do retângulo
, que tem largura
e altura
:
Resposta
Portanto, a área da superfície é: