Determine a área da superfície:
A parte do plano z=1+4x+5y que está acima do retângulo [1,3] times [2,5].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente calcular a área da superfície do plano z = 1 + 4x + 5y que está acima de um retângulo no plano xy, especificamente o retângulo com x entre 1 e 3 e y entre 2 e 5. Isso está na área de cálculo, mais precisamente no cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas. Vamos precisar usar a fórmula que envolve as derivadas parciais da função que define o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para calcular a área de uma superfície definida por z = f(x, y) . A fórmula é:
Área = integral duplaR raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy Á
Aqui, R é a região no plano xy sobre a qual queremos calcular a área.

Passo 3

No nosso caso, a função é f(x, y) = 1 + 4x + 5y . Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = 4
partial fpartial y = 5

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Área = integral duplaR raiz1 + (4)^2 + (5)^2 , dx , dy = integral duplaR raiz1 + 16 + 25 , dx , dy = integral duplaR raiz42 , dx , dy Á
Como raiz42 é uma constante, podemos simplificar a integral:
Área = raiz42 integral duplaR , dx , dy Á
Agora, vamos calcular a área do retângulo R , que tem largura 3 - 1 = 2 e altura 5 - 2 = 3 :
integral duplaR , dx , dy = 2 times 3 = 6

Resposta

Portanto, a área da superfície é:
Área = raiz42 times 6 = 6raiz42 Á

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