Determine a área da superfície da parte do plano:
que está no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a área da parte do plano
que está no primeiro octante. Isso envolve geometria espacial e um pouco de cálculo. Vamos precisar entender como calcular áreas de superfícies planas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a região onde
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. Então, vamos encontrar os pontos onde o plano
intersecta os eixos coordenados.
Passo 3
Para achar as interseções com os eixos:
- Quando
e , temos . - Quando
e , temos . - Quando
e , temos .
Então, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 4
Agora, sabemos que a parte do plano no primeiro octante forma um triângulo com esses três pontos. Para calcular a área dessa superfície, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço, mas como é um plano, há uma maneira mais simples usando a projeção no plano xy.
Passo 5
Vamos reescrever a equação do plano para facilitar:
Isso nos ajuda a expressar
em função de
e
, o que é útil para integrar e encontrar a área.
Passo 6
A área da superfície
pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui,
é a área de projeção no plano xy.
Passo 7
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na fórmula:
Como
é constante, podemos tirar da integral:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar a área
no plano xy. É o triângulo limitado pelas interseções
,
e
. A área desse triângulo é:
Passo 9
Finalmente, substituímos na fórmula da área da superfície:
Resposta
A área da superfície da parte do plano no primeiro octante é
.