Determine a área da superfície da parte do plano: x+y+z=2 que está no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a área da parte do plano x + y + z = 2 que está no primeiro octante. Isso envolve geometria espacial e um pouco de cálculo. Vamos precisar entender como calcular áreas de superfícies planas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que é o primeiro octante. No espaço tridimensional, o primeiro octante é a região onde x , y e z são todos maiores ou iguais a zero. Então, vamos encontrar os pontos onde o plano x + y + z = 2 intersecta os eixos coordenados.

Passo 3

Para achar as interseções com os eixos:
  • Quando y = 0 e z = 0 , temos x = 2 .
  • Quando x = 0 e z = 0 , temos y = 2 .
  • Quando x = 0 e y = 0 , temos z = 2 .
Então, os pontos de interseção são (2, 0, 0) , (0, 2, 0) e (0, 0, 2) .

Passo 4

Agora, sabemos que a parte do plano no primeiro octante forma um triângulo com esses três pontos. Para calcular a área dessa superfície, podemos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço, mas como é um plano, há uma maneira mais simples usando a projeção no plano xy.

Passo 5

Vamos reescrever a equação do plano para facilitar:
z = 2 - x - y
Isso nos ajuda a expressar z em função de x e y , o que é útil para integrar e encontrar a área.

Passo 6

A área da superfície A pode ser calculada usando a fórmula:
A = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Aqui, D é a área de projeção no plano xy.

Passo 7

Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = -1
partial zpartial y = -1
Substituindo na fórmula:
A = integral duplaD raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dx , dy
A = integral duplaD raiz1 + 1 + 1 , dx , dy
A = integral duplaD raiz3 , dx , dy
Como raiz3 é constante, podemos tirar da integral:
A = raiz3 integral duplaD , dx , dy

Passo 8

Agora, precisamos encontrar a área D no plano xy. É o triângulo limitado pelas interseções (2,0) , (0,2) e (0,0) . A área desse triângulo é:
Área de D = base times a<ura2 = 2 times 22 = 2 Á

Passo 9

Finalmente, substituímos na fórmula da área da superfície:
A = raiz3 times 2 = 2raiz3

Resposta

A área da superfície da parte do plano no primeiro octante é 2raiz3 .

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