Use transformada de Laplace para resolver o sistema:
ly^prime prime=-3 y+2(z-y) z^prime prime=-2(z-y), com y(0)=0, y^prime(0)=1, z(0)=1 e z^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
y'' = -3y + 2(z - y), z'' = -2(z - y),
com condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, z(0)=1, z'(0)=0, usando transformada de Laplace.
Vamos chamar Y(s)=Ly(t) e Z(s)=Lz(t) e usar
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0), Lz''=s^2Z(s)-s,z(0)-z'(0)

Passo 2

Aplicando Laplace nas duas equações:
Para y''=-5y+2z (pois -3y+2(z-y)=-5y+2z) temos
s^2Y(s)-1 = -5,Y(s)+2,Z(s) Longrightarrow (s^2+5),Y(s)-2,Z(s)=1
Para z''=2y-2z temos
s^2Z(s)-s = 2,Y(s)-2,Z(s) Longrightarrow -2,Y(s)+(s^2+2),Z(s)=s
Assim obtemos o sistema linear em Y,Z:
(s^2+5),Y - 2,Z = 1, -2,Y + (s^2+2),Z = s

Passo 3

Usamos regra de Cramer. O determinante comum é
De<a = (s^2+5)(s^2+2)-(-2)(-2) = s^4+7s^2+10-4 = s^4+7s^2+6 = (s^2+1)(s^2+6)
O numerador de Y é
De<aY = 1 & -2[6pt] s & s^2+2 =1cdot(s^2+2)-(-2),s =s^2+2+2s =s^2+2s+2,
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Y(s)=s^2+2s+2(s^2+1)(s^2+6)
O numerador de Z é
De<aZ = s^2+5 & 1[6pt] -2 & s =(s^2+5),s -1cdot(-2) =s^3+5s+2,
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Z(s)=s^3+5s+2(s^2+1)(s^2+6)
]

Passo 4

Decompor
Y(s)=s^2+2s+2(s^2+1)(s^2+6) =As+Bs^2+1+Cs+Ds^2+6
Igualando numeradores obtemos o sistema
A+C=0, B+D=1, 6A+C=2, 6B+D=2,
cuja solução é A=2/5, B=1/5, C=-2/5, D=4/5.
Assim
Y(s)=tfrac25s+tfrac15s^2+1 +-tfrac25s+tfrac45s^2+6
Invertendo Laplace:
y(t) =25cos t+15sin t -25cos(raiz6,t) +45,sin(raiz6,t)raiz6

Passo 5

Decompor
Z(s)=s^3+5s+2(s^2+1)(s^2+6) =Es+Fs^2+1+Gs+Hs^2+6,
o que leva ao sistema
E+G=1, F+H=0, 6E+G=5, 6F+H=2,
cuja solução é E=4/5, F=2/5, G=1/5, H=-2/5.
Então
Z(s)=tfrac45s+tfrac25s^2+1 +tfrac15s-tfrac25s^2+6,
e invertendo:
z(t) =45cos t+25sin t +15cos(raiz6,t) -25,sin(raiz6,t)raiz6

Resposta

y(t) =25l[cos t - cos(raiz6,t)r] +15sin t +45raiz6sin(raiz6,t),
z(t) =45cos t +15cos(raiz6,t) +25sin t -25raiz6sin(raiz6,t)

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