Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que está dentro da esfera x^2+y^2+ z^2=16, acima do plano xy e abaixo do cone z= raizx^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16, acima do plano xy e abaixo do cone z= raizx^2+y^2. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar, que é um sistema de coordenadas bem maneiro para lidar com esferas e cones. Precisaremos entender como transformar as equações para coordenadas esféricas e configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • theta é o ângulo no plano xy (como o ângulo polar),
  • phi é o ângulo em relação ao eixo z.
A relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e esféricas é:
x = rho sinphi costheta
y = rho sinphi sintheta
z = rho cosphi

Passo 3

Agora, vamos reescrever as equações da esfera e do cone em coordenadas esféricas.
Para a esfera x^2+y^2+z^2=16, sabemos que rho^2 = 16, então rho = 4.
Para o cone z = raizx^2+y^2, substituindo em esféricas:
rho cosphi = raiz(rho sinphi costheta)^2 + (rho sinphi sintheta)^2 = rho sinphi
Simplificando, temos cosphi = sinphi, ou seja, phi = pi4.

Passo 4

Também temos a condição de estar acima do plano xy. O plano xy corresponde a z=0, que em esféricas é phi = pi2. Como queremos estar acima desse plano, o ângulo phi vai de 0 até pi4 (pois estamos abaixo do cone que está inclinado a pi4).

Passo 5

Vamos agora configurar os limites de integração:
  • rho varia de 0 até 4 (o raio da esfera),
  • theta varia de 0 até 2pi (girar em toda a volta ao redor do eixo z),
  • phi varia de 0 até pi4 (do eixo z até o cone).

Passo 6

O volume em coordenadas esféricas é dado por:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^4 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Aqui, rho^2 sinphi é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 7

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiramente, integramos em relação a rho:
integral0^4 rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^4 = 4^33 - 0 = 643

Passo 8

Em seguida, integramos em relação a phi:
integral0^pi4 sinphi , dphi = [ -cosphi ]0^pi4 = -cos(pi4) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 9

Por último, integramos em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi

Passo 10

Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
V = 643 times (1 - raiz22) times 2pi = 643 times 2pi times (1 - raiz22) = 128pi3 (1 - raiz22)

Resposta

O volume do sólido é:
V = 128pi3 (1 - raiz22) unidades cúbicas ú

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