Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume de um sólido que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
. Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar, que é um sistema de coordenadas bem maneiro para lidar com esferas e cones. Precisaremos entender como transformar as equações para coordenadas esféricas e configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo no plano (como o ângulo polar), -
é o ângulo em relação ao eixo .
A relação entre coordenadas cartesianas
e esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos reescrever as equações da esfera e do cone em coordenadas esféricas.
Para a esfera
, sabemos que
, então
.
Para o cone
, substituindo em esféricas:
Simplificando, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Também temos a condição de estar acima do plano
. O plano
corresponde a
, que em esféricas é
. Como queremos estar acima desse plano, o ângulo
vai de
até
(pois estamos abaixo do cone que está inclinado a
).
Passo 5
Vamos agora configurar os limites de integração:
-
varia de até (o raio da esfera), -
varia de até (girar em toda a volta ao redor do eixo ), -
varia de até (do eixo até o cone).
Passo 6
O volume em coordenadas esféricas é dado por:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 7
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiramente, integramos em relação a
:
Passo 8
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 9
Por último, integramos em relação a
:
Passo 10
Agora, multiplicamos todos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido é: