Use transformada de Laplace para resolver o sistema:
rl2 d yd t+d zd t-2 & =1 d yd t+d zd t-3 y-3 z & =2, y(0)=0 e z(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais
2,dydt + dzdt - 2 = 1, dydt + dzdt - 3y - 3z = 2,
com condições iniciais y(0)=0 e z(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos usar a linearidade da transformada, as fórmulas
Ly'(s)=sY(s)-y(0), Lz'(s)=sZ(s)-z(0),
e depois resolver o sistema algébrico em Y(s) e Z(s).

Passo 2

Primeiro simplificamos as equações isolando as derivadas e os termos constantes. Da primeira equação:
2,dydt + dzdt - 2 = 1 Longrightarrow 2,dydt + dzdt = 3
Da segunda:
dydt + dzdt - 3y - 3z = 2

Passo 3

Aplicando transformada de Laplace e usando y(0)=0,;z(0)=0, obtemos
2l(sY(s)r) + sZ(s) = 3s,
l(sY(s)r) + sZ(s) - 3Y(s) - 3Z(s) = 2s
Reescrevendo:
2sY + sZ = 3s, (s-3),Y + (s-3),Z = 2s

Passo 4

Defina A = Y+Z. A segunda equação vira
(s-3)A = 2s Longrightarrow A = 2s(s-3)
Da primeira, dividindo por s:
2Y + Z = 3s^2 Longrightarrow Z = 3s^2 - 2Y
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A = Y + Z = Y + 3s^2 - 2Y = 3s^2 - Y ;Longrightarrow; Y = 3s^2 - 2s(s-3)
E então
Z = 3s^2 - 2Y = 3s^2 - 2l(3s^2 - 2s(s-3)r) = -3s^2 + 4s(s-3)

Passo 5

Fazemos frações parciais em cada transformada. Para Y(s):
2s(s-3) = -2/3s + 2/3s-3,
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Y(s) = 3s^2 + 23,1s - 23,1s-3
Para Z(s):
4s(s-3) = -4/3s + 4/3s-3,
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Z(s) = -43,1s - 3s^2 + 43,1s-3

Passo 6

Invertemos a transformada termo a termo:
L^-1l3s^2r=3t, L^-1ltfrac1sr=1, L^-1ltfrac1s-3r=e^3t
Assim
y(t) = 3t + 23,(1) - 23,e^3t = 3t + 23l(1 - e^3tr),
z(t) = -3t - 43,(1) + 43,e^3t = -3t + 43l(e^3t-1r)

Passo 7

Verificamos rapidamente y(0)=0 e z(0)=0, pois em t=0 os termos em t somam zero e (1-e^0)=0.

Resposta

y(t) = 3t + 23l(1 - e^3tr), z(t) = -3t + 43l(e^3t-1r)

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