Use transformada de Laplace para resolver o sistema:
e
z(0)=0 .
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais
com condições iniciais
y(0)=0 e
z(0)=0 , usando transformada de Laplace. Vamos usar a linearidade da transformada, as fórmulas
e depois resolver o sistema algébrico em
Y(s) e
Z(s) .
Passo 2
Primeiro simplificamos as equações isolando as derivadas e os termos constantes. Da primeira equação:
Da segunda:
Passo 3
Aplicando transformada de Laplace e usando
y(0)=0,;z(0)=0 , obtemos
Reescrevendo:
Passo 4
Defina
A = Y+Z . A segunda equação vira
Da primeira, dividindo por
s :
Logo
E então
Passo 5
Fazemos frações parciais em cada transformada. Para
Y(s) :
logo
Para
Z(s) :
logo
Passo 6
Invertemos a transformada termo a termo:
Assim
Passo 7
Verificamos rapidamente
y(0)=0 e
z(0)=0 , pois em
t=0 os termos em
t somam zero e
(1-e^0)=0 .