Utilize as coordenadas cilíndricas para calcular a integral
, onde E é região contida dentro do cilindro
e entre os planos
a
.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício usando coordenadas cilíndricas. A questão pede para calcular a integral tripla
, onde a região E está dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas e configurar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, temos as relações:
E o elemento de volume,
, vira:
Além disso,
se simplifica para
nessas coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
- r: O cilindro
corresponde a , então varia de 0 a 5. - θ: Como o cilindro é completo ao redor do eixo z,
vai de 0 a . - z: Está limitado entre
e .
Passo 4
Com tudo isso, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 5
Simplificando a expressão:
Vamos começar integrando em relação a
.
Passo 6
Integrando em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Portanto, a integral agora é:
Passo 8
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O valor da integral é
.