Utilize as coordenadas cilíndricas para calcular a integral integral tripla raizx^2+y^2 d V, onde E é região contida dentro do cilindro x^2+y^2=25 e entre os planos z= -1 a z=2.

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício usando coordenadas cilíndricas. A questão pede para calcular a integral tripla integral tripla raizx^2+y^2 , dV, onde a região E está dentro do cilindro x^2+y^2=25 e entre os planos z = -1 e z = 2. Para isso, vamos precisar entender como mudar para coordenadas cilíndricas e configurar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cilíndricas, temos as relações:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume, dV, vira:
dV = r , dr , dtheta , dz
Além disso, raizx^2+y^2 se simplifica para r nessas coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • r: O cilindro x^2+y^2=25 corresponde a r = 5, então r varia de 0 a 5.
  • θ: Como o cilindro é completo ao redor do eixo z, theta vai de 0 a 2pi.
  • z: Está limitado entre -1 e 2.

Passo 4

Com tudo isso, podemos reescrever a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral tripla raizx^2+y^2 , dV = integral0^2pi integral0^5 integral-1^2 r cdot r , dz , dr , dtheta
Aqui, substituímos raizx^2+y^2 por r e dV por r , dz , dr , dtheta.

Passo 5

Simplificando a expressão:
integral0^2pi integral0^5 integral-1^2 r^2 , dz , dr , dtheta
Vamos começar integrando em relação a z.

Passo 6

Integrando em relação a z:
integral-1^2 r^2 , dz = r^2 cdot (2 - (-1)) = 3r^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^5 3r^2 , dr , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a r:
integral0^5 3r^2 , dr = 3 cdot [ r^33 ]0^5 = [ r^3 ]0^5 = 125
Portanto, a integral agora é:
integral0^2pi 125 , dtheta

Passo 8

Finalmente, integramos em relação a theta:
integral0^2pi 125 , dtheta = 125 cdot (2pi - 0) = 250pi

Resposta

O valor da integral é 250pi.

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