Obtenha a solução geral para a Equação:
d yd x=yx+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = yx + 2x + 1
Este é um problema de equação linear em y. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Colocamos em forma padrão de equação linear:
dydx - 1x,y = 2x + 1

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x) definido por
mu(x) = expl(-integral 1x,dxr) = expl(-ln|x|r) = 1x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=1/x. Isso dá
1x,dydx - 1x^2,y = 2 + 1x,
e o lado esquerdo é agora a derivada de y/x, ou seja,
ddxl(yxr) = 2 + 1x

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
yx = integrall(2 + 1xr),dx = 2x + lnlvert xrvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y multiplicando por x:
y = xl(2x + lnlvert xrvert + Cr) = 2x^2 + xlnlvert xrvert + C,x

Resposta

A solução geral é
y(x) = 2x^2 + xlnlvert xrvert + C,x,
onde C é constante arbitrária.

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