Determine a área da superfície da parte do plano:
x+y+z=2 que está no primeiro octante.
OBSERVAÇÃO:
  • Utilize a região do tipo 1 ou do tipo 2, para resolver essa questão.
  • Utilize as equações de retas que é y=a x + b
  • Represente a região D no plano xy que representa a projeção da superfície sobre o plano xy.
  • Substitua os valores de D como os limites das integrais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano x + y + z = 2 que está no primeiro octante. Isso significa que x, y e z são positivos. Vamos usar cálculo de integrais duplas para achar essa área. Para isso, precisamos projetar essa região no plano xy e determinar os limites das integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão de z em termos de x e y a partir da equação do plano:
z = 2 - x - y
Isso nos ajuda a entender como z varia conforme x e y mudam no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos identificar a região D no plano xy que corresponde à projeção da parte do plano no primeiro octante. No primeiro octante, x, y e z são todos positivos, então:
2 - x - y >= 0 implies x + y <= 2
Isso define um triângulo no plano xy com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2).

Passo 4

Vamos representar a região D no plano xy. A região D é limitada pelas retas:
y = 0 (eixo x)
x = 0 (eixo y)
y = -x + 2
Desenhando isso, vemos que é um triângulo com os vértices mencionados.

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área da superfície. A fórmula para a área da superfície S de uma função z = f(x,y) sobre a região D é:
S = integral duplaD raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dA
Aqui, f(x,y) = 2 - x - y.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y:
partial zpartial x = -1
partial zpartial y = -1
Substituindo na fórmula da área:
S = integral duplaD raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dA = integral duplaD raiz1 + 1 + 1 , dA = integral duplaD raiz3 , dA

Passo 7

Como raiz3 é uma constante, podemos simplificar a integral:
S = raiz3 integral duplaD , dA = raiz3 cdot Área de D Á
Então, precisamos encontrar a área do triângulo D.

Passo 8

A área de um triângulo com base b e altura h é:
Área = b cdot h2 Á
No nosso caso, a base e a altura são ambos iguais a 2, então:
Área de D = 2 cdot 22 = 2 Á

Passo 9

Agora, substituímos a área de D na expressão da área da superfície:
S = raiz3 cdot 2 = 2raiz3

Resposta

A área da superfície da parte do plano x + y + z = 2 que está no primeiro octante é 2raiz3 unidades de área.

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