Determine a área da superfície da parte do plano:
que está no primeiro octante.
OBSERVAÇÃO:
- Utilize a região do tipo 1 ou do tipo 2, para resolver essa questão.
- Utilize as equações de retas que é
- Represente a região D no plano
que representa a projeção da superfície sobre o plano
.
- Substitua os valores de D como os limites das integrais.
OBSERVAÇÃO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da parte do plano
que está no primeiro octante. Isso significa que
,
e
são positivos. Vamos usar cálculo de integrais duplas para achar essa área. Para isso, precisamos projetar essa região no plano
e determinar os limites das integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão de
em termos de
e
a partir da equação do plano:
Isso nos ajuda a entender como
varia conforme
e
mudam no plano
.
Passo 3
Agora, vamos identificar a região
no plano
que corresponde à projeção da parte do plano no primeiro octante. No primeiro octante,
,
e
são todos positivos, então:
Isso define um triângulo no plano
com vértices em
,
e
.
Passo 4
Vamos representar a região
no plano
. A região
é limitada pelas retas:
Desenhando isso, vemos que é um triângulo com os vértices mencionados.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área da superfície. A fórmula para a área da superfície
de uma função
sobre a região
é:
Aqui,
.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Substituindo na fórmula da área:
Passo 7
Como
é uma constante, podemos simplificar a integral:
Então, precisamos encontrar a área do triângulo
.
Passo 8
A área de um triângulo com base
e altura
é:
No nosso caso, a base e a altura são ambos iguais a 2, então:
Passo 9
Agora, substituímos a área de
na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da superfície da parte do plano
que está no primeiro octante é
unidades de área.