Determine a área da superfície da parte do plano:
que está no primeiro octante.
Por que usamos derivadas parciais para a resolução da questão 1?
Por que usamos derivadas parciais para a resolução da questão 1?
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do plano
que fica no primeiro octante (onde
,
,
), e em seguida pergunta por que precisamos de derivadas parciais para resolver esse cálculo. O conteúdo é a fórmula de área de superfície dada por uma função
.
Passo 2
Expressamos o plano como gráfico de uma função de duas variáveis:
A região de projeção
no plano
é o triângulo
Passo 3
A fórmula de área de superfície para
sobre
é
Aqui precisamos das derivadas parciais
e
porque elas medem a inclinação da superfície em cada direção.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais da função:
Logo dentro da raiz temos
que é constante sobre
.
Passo 5
Substituindo na integral,
Como
é um triângulo de base
e altura
,
Portanto
Resposta
Usamos derivadas parciais porque a fórmula de área de uma superfície dada por
envolve medir como a superfície se inclina nas direções
e
, e essas inclinações são justamente as derivadas parciais
e
.