Determine a área da superfície da parte do plano: x+y+z=2 que está no primeiro octante.
Por que usamos derivadas parciais para a resolução da questão 1?

Passo 1

O enunciado pede a área da parte do plano x+y+z=2 que fica no primeiro octante (onde x>=0, y>=0, z>=0), e em seguida pergunta por que precisamos de derivadas parciais para resolver esse cálculo. O conteúdo é a fórmula de área de superfície dada por uma função z=f(x,y).

Passo 2

Expressamos o plano como gráfico de uma função de duas variáveis:
z = f(x,y) = 2 - x - y
A região de projeção D no plano xy é o triângulo
D = (x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=2

Passo 3

A fórmula de área de superfície para z=f(x,y) sobre D é
A = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2,dA
Aqui precisamos das derivadas parciais fx e fy porque elas medem a inclinação da superfície em cada direção.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais da função:
fx(x,y) = -1, fy(x,y) = -1
Logo dentro da raiz temos
raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1+1+1 = raiz3,
que é constante sobre D.

Passo 5

Substituindo na integral,
A = integral duplaD raiz3,dA = raiz3 integral duplaD dA = raiz3,l(área de Dr) á
Como D é um triângulo de base 2 e altura 2,
área de D = 12cdot2cdot2 = 2 á
Portanto
A = 2raiz3

Resposta

2raiz3.
Usamos derivadas parciais porque a fórmula de área de uma superfície dada por z=f(x,y) envolve medir como a superfície se inclina nas direções x e y, e essas inclinações são justamente as derivadas parciais fx e fy.

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