Encontre valores para as variáveis em cada item, de forma que a função

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= a,x + 3, & x < b, 10 - 2x, & x >= b
e pede que f seja contínua em x=b. O conteúdo envolvido é a continuidade de funções definidas por partes, que exige igualdade dos limites laterais em x=b.

Passo 2

Para ter continuidade em x=b, precisamos que
limxto b^-f(x) = limxto b^+f(x)
Pela definição da função, o limite à esquerda é
limxto b^-f(x)=a,b+3,
e o limite à direita é
limxto b^+f(x)=10-2b

Passo 3

Igualando esses valores, obtemos
a,b + 3 = 10 - 2b
Reorganizando, temos
a,b + 2b = 7 Longrightarrow b,(a+2)=7

Passo 4

Da equação b(a+2)=7 seguem duas formas equivalentes de descrever todos os pares (a,b) que garantem continuidade:
b = 7a+2, a neq -2,
ou
a = 7b - 2, b neq 0

Resposta

A função f é contínua em x=b se, e somente se,
b,(a+2)=7,
isto é
b = 7a+2(aneq -2) ou a = 7b-2(bneq 0)

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