Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
r(x, y)=(Cosh(x)-Senh(y)) i+(Cosh(x)+Senh(y)) j+Cosh(x-y) k, para x=1, y=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente à superfície paramétrica
vec r(x,y) = l(cosh x - sinh yr),hatimath ;+;l(cosh x + sinh yr),hatjmath ;+;cosh(x-y),hat k
no ponto dado por x=1, y=1.
Para isso vamos usar que vetores tangentes são
vec rx = partialvec r/partial x e vec ry = partialvec r/partial y,
encontrar o vetor normal vec n = vec rx times vec ry e então montar a equação do plano.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
vec rx = l(sinh x,;sinh x,;sinh(x-y)r), vec ry = l(-cosh y,;cosh y,;-,sinh(x-y)r)

Passo 3

Avaliar em (x,y)=(1,1).
O ponto da superfície é
vec r(1,1) = l(cosh1-sinh1,;cosh1+sinh1,;cosh0r) = l(e^-1,;e,;1r)
E os vetores tangentes ficam
vec rx(1,1) = l(sinh1,;sinh1,;0r), vec ry(1,1) = l(-cosh1,;cosh1,;0r)

Passo 4

O vetor normal é
n = rx(1,1) times ry(1,1) = imath & jmath & k sinh 1 & sinh 1 & 0 -cosh 1 & cosh 1 & 0 = l(0,,0,,2,sinh 1 , cosh 1r) = l(0,,0,,sinh 2r)

Passo 5

A equação do plano que passa por (x0,y0,z0)=(e^-1,e,1) com normal (0,0,sinh2) é
0,(x-e^-1) + 0,(y-e) + sinh2,(z-1) = 0 Longrightarrow z-1 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedz = 1

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