Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
r(s, t)=Cos(t-s) i+Sen(t-s) j+(s-2 t)^2 k, para s=pi, t=pi / 2.

Passo 1

O enunciado dá a superfície paramétrica
vec r(s,t)=l(cos(t-s),,sin(t-s),,(s-2t)^2r)
e pede a equação do plano tangente no ponto (s,t)=(pi,pi/2). Para isso vamos:
  1. calcular o ponto P0=vec r(pi,pi/2);
  2. obter partialvec r/partial s e partialvec r/partial t e avaliá-las em (pi,pi/2);
  3. verificar se partialsvec r e partialtvec r fornecem um normal à superfície;
  4. caso dê degenerado, usar a forma implícita da superfície (que é um cilindro x^2+y^2=1) para achar o normal e, daí, a equação do plano tangente.

Passo 2

Calcular o ponto P0=vec r(pi,pi/2).
t-s=pi2-pi=-pi2
cosl(-tfracpi2r)=0, sinl(-tfracpi2r)=-1, s-2t=pi-2cdotpi2=0
P0=l(0,,-1,,0r)

Passo 3

Calcular as derivadas parciais:
partialvec rpartial s =l(sin(t-s),,-cos(t-s),,2(s-2t)r),
partialvec rpartial t =l(-sin(t-s),,cos(t-s),,-4(s-2t)r)
Em (s,t)=(pi,pi/2) temos t-s=-pi/2 e s-2t=0, logo
partialsvec r(pi,tfracpi2)=(-1,,0,,0), partialtvec r(pi,tfracpi2)=(1,,0,,0)

Passo 4

Notamos que partialsvec r e partialtvec r são colineares, logo o parâmetro não é regular neste ponto e o produto vetorial dá zero. Não podemos usar diretamente partialsvec rtimespartialtvec r para achar o normal.

Passo 5

Observamos que a imagem da parametrização é o cilindro
x^2+y^2=1,
independente de z. A forma implícita é
F(x,y,z)=x^2+y^2-1=0,
cujo gradiente fornece o vetor normal em qualquer ponto:
nabla F=(2x,,2y,,0)
Em P0=(0,-1,0) temos
nabla F(P0)=(0,,-2,,0)

Passo 6

Usando n=(0,-2,0) e o ponto P0=(0,-1,0), a equação do plano tangente é
(0,-2,0),cdotl(x-0,;y+1,;z-0r)=0 Longrightarrow -2,(y+1)=0 Longrightarrow y=-1

Resposta

A equação do plano tangente é
boxedy=-1

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