Determine a equação do plano tangente à superficie paramétrica dada no ponto especificado
, para
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície paramétrica
e pede a equação do plano tangente no ponto
. Para isso vamos:
- calcular o ponto
; - obter
e e avaliá-las em ; - verificar se
e fornecem um normal à superfície; - caso dê degenerado, usar a forma implícita da superfície (que é um cilindro
) para achar o normal e, daí, a equação do plano tangente.
Passo 2
Calcular o ponto
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais:
Em
temos
e
, logo
Passo 4
Notamos que
e
são colineares, logo o parâmetro não é regular neste ponto e o produto vetorial dá zero. Não podemos usar diretamente
para achar o normal.
Passo 5
Observamos que a imagem da parametrização é o cilindro
independente de
. A forma implícita é
cujo gradiente fornece o vetor normal em qualquer ponto:
Em
temos
Passo 6
Usando
e o ponto
, a equação do plano tangente é
Resposta
A equação do plano tangente é