Determine a área da superfície de revolução gerada pela rotação das curvas:
Determine a integral que representa a área da superfície:
toro gerado pela rotação da curva x^2+y^2=r^2 ao redor da reta y=r.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar o círculo
x^2+y^2=r^2
em torno da reta y=r. O conteúdo é superfícies de revolução, cuja fórmula geral é
S = integral 2pi;(distância ao eixo de rotação);ds âçã

Passo 2

Parametrizamos o círculo por
x(theta)=rcostheta, y(theta)=rsintheta, 0<=theta<=2pi
Então
ds = raizl(x'(theta)r)^2+l(y'(theta)r)^2;dtheta =raiz(-rsintheta)^2+(rcostheta)^2;dtheta = r,dtheta
A distância de (x(theta),y(theta)) à reta y=r é
rho(theta)=l|y(theta)-rr|=r - rsintheta

Passo 3

Aplicando a fórmula da área de revolução com rho(theta) e ds:
S =integral0^2pi2pi,rho(theta);ds =integral0^2pi2pil(r - rsinthetar);r,dtheta

Resposta

S=integral0^2pi2pil(r - rsinthetar),r,dtheta

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