Determine a área da superfície z=1+2 x+3 y+4 x^{2}, 1 \leqslant x \leqslant 4,0 \leqslant y \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície
z = 1 + 2x + 3y + 4x^2
no retângulo 1 \le x \le 4, 0 \le y \le 1.
O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico de z=f(x,y), usando a fórmula
A = \iint_{R} \sqrt{1 + \bigl(f_x(x,y)\bigr)^2 + \bigl(f_y(x,y)\bigr)^2}\,dA.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de
f(x,y) = 1 + 2x + 3y + 4x^2.
Temos
f_x(x,y) = 2 + 8x, \qquad f_y(x,y) = 3.

Passo 3

Substituindo na fórmula da área, obtemos
A = \int_{x=1}^{4}\int_{y=0}^{1} \sqrt{1 + (2+8x)^2 + 3^2}\;dy\,dx = \int_{1}^{4}\int_{0}^{1} \sqrt{10 + (2 + 8x)^2}\;dy\,dx.

Passo 4

Como o integrando não depende de y, a integral em y apenas introduz fator 1:
A = \int_{1}^{4} \sqrt{10 + (2 + 8x)^2}\;dx = \int_{1}^{4} \sqrt{64x^2 +32x +14}\;dx.

Passo 5

Para integrar \int \sqrt{64x^2+32x+14}\,dx, fatoramos 64 e completamos quadrado:
64x^2+32x+14 = 64\Bigl(x^2+\tfrac12x+\tfrac{7}{32}\Bigr) =64\Bigl((x+\tfrac14)^2 + \tfrac{5}{32}\Bigr).
Logo
A = \int_{1}^{4} 8\,\sqrt{\bigl(x+\tfrac14\bigr)^2 + \tfrac{5}{32}}\;dx.

Passo 6

Fazemos a substituição
u = x + \tfrac14, \quad a^2 = \tfrac{5}{32},
de modo que
A = 8\int_{u=1+\frac14}^{4+\frac14} \sqrt{u^2 + a^2}\;du.
Usamos a primitiva padrão
\int \sqrt{u^2 + a^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{u^2+a^2}\bigr).

Passo 7

Aplicando os limites u_1=1+\tfrac14=\tfrac54, u_2=4+\tfrac14=\tfrac{17}{4}, obtemos
A = 8\Biggl[ \frac{u}{2}\sqrt{u^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+a^2}\bigr) \Biggr]_{u=\frac54}^{u=\frac{17}{4}}.
Depois de simplificar (ver completamento de quadrado e fato de \bigl(u^2+a^2\bigr)), chega-se à forma
A = \frac{17\sqrt{583} - 5\sqrt{55}}{\sqrt{2}} + \frac{5}{8}\,\ln\!\Biggl( \frac{17 + \sqrt{\tfrac{583}{2}}}{5 + \sqrt{\tfrac{55}{2}}} \Biggr).

Resposta

A = \frac{17\sqrt{583} - 5\sqrt{55}}{\sqrt{2}} + \frac{5}{8}\,\ln\!\Biggl( \frac{17 + \sqrt{\tfrac{583}{2}}}{5 + \sqrt{\tfrac{55}{2}}} \Biggr).

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