Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!} \cdot \cos (n)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,\cos(n)
usando conceitos de séries de termos reais, em particular teste da razão para determinar convergência absoluta ou condicional.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\,\cos(n)
e estudamos a série de termos positivos \sum |a_n|. Pelo teste da razão, calculamos
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{2}/(2n+2)!}{(n!)^{2}/(2n)!} =\frac{(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)} =\frac{n+1}{2(2n+1)}.

Passo 3

Tomando limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2(2n+1)} =\frac{1}{4}<1.
Como a razão limite é menor que 1, a série \sum|a_n| converge e, portanto, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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