Verifique, em cada uma das letras seguintes, se a série dada é convergente; e, em sendo, se absoluta ou condicionalmente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)!\cdot \cos (n)}{(n!)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\quad\text{onde}\quad a_n = \frac{(2n)!\,\cos(n)}{(n!)^3}.
Vamos verificar primeiro a convergência absoluta, comparando \lvert a_n\rvert com uma série de termos positivos e usando o teste da razão.

Passo 2

Note que
\lvert a_n\rvert = \frac{(2n)!}{(n!)^3}\,\bigl\lvert\cos(n)\bigr\rvert \le \frac{(2n)!}{(n!)^3} =: b_n,
com b_n>0. Se \sum b_n convergir, então \sum\lvert a_n\rvert também converge por comparação, e a série original será absolutamente convergente.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão a \sum b_n. Calculamos
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\displaystyle\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^3}} {\displaystyle\frac{(2n)!}{(n!)^3}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^3}.
Para n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^3} = \lim_{n\to\infty}\frac{4n^2+6n+2}{n^3+3n^2+3n+1} =0<1.
Pelo teste da razão, \sum b_n converge.

Passo 4

Como \sum b_n converge e \lvert a_n\rvert\le b_n, segue que \sum\lvert a_n\rvert converge. Logo, a série dada converge absolutamente (e portanto converge).

Resposta

A série converge absolutamente.

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