(
ptos) Determinar o ponto do plano
mais próximo da origem. (Dica: minimizar a distância dos pontos do plano até a origem e UTILIZAR MULTIPLICADOR DE LAGRANGE)
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: Determinar o ponto do plano mais próximo da origem.
- Plano dado:
. - Origem: o ponto
. - Observação importante: queremos o ponto
que pertence ao plano e que minimiza a distância até a origem.
Passo 2
Transformar a minimização da distância em uma forma mais simples para trabalhar.
- A distância entre um ponto
e a origem é . Trabalhar com raiz é desnecessário; minimizar a distância é equivalente a minimizar o quadrado da distância (a raiz é monotônica crescente). - Então definimos a função a minimizar:
que é mais simples (sem raiz) e tem mínimo no mesmo ponto que a distância.
Passo 3
Escrever a restrição explicitamente como função usada no método.
- A restrição (o ponto deve estar no plano) é
Passo 4
Explicar a ideia do multiplicador de Lagrange, de forma didática.
- A ideia: entre todos os pontos do plano, o ponto que minimiza
é tal que o gradiente de é paralelo ao gradiente de . Intuitivamente, o gradiente aponta a direção de subida mais rápida; em restrição, a inclinação de perpendicular ao plano deve coincidir com a normal do plano. - Formalmente, existe
tal que
- Isso combinado com a restrição
forma um sistema de equações para .
Passo 5
Calcular os gradientes e montar as equações de Lagrange.
- Calcular gradientes:
- Igualando com o multiplicador:
- Isso dá três equações escalares:
Passo 6
Resolver as equações das componentes em função de
.
- Das três equações acima isolamos
:
Passo 7
Impor a restrição do plano para encontrar
.
- Substituir
na equação do plano :
- Calcular passo a passo:
- Portanto
Passo 8
Encontrar as coordenadas do ponto substituindo
.
- Substituindo
nas expressões de :
Passo 9
Verificação e interpretação geométrica rápida (por que é mínimo).
- A função
é convexa (soma de quadrados) e o conjunto definido por é um plano (conjunto afim). Em problemas convexos com restrição afim, qualquer ponto crítico pelo método de Lagrange é o mínimo global. - Geometricamente, o ponto encontrado é o pé da perpendicular do plano que passa pela origem (isto é, a projeção ortogonal da origem sobre o plano), logo é o ponto mais próximo da origem.
Passo 10
Calcular, se quiser, a distância mínima (opcional para conferir).
- O quadrado da distância mínima é
- Portanto a distância mínima é
(Esta parte é só conferência; o enunciado pedia o ponto.)