( \mathbf{8 , 0} ptos) Determinar o ponto do plano 2 x+y+3 z=6 mais próximo da origem. (Dica: minimizar a distância dos pontos do plano até a origem e UTILIZAR MULTIPLICADOR DE LAGRANGE)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: Determinar o ponto do plano mais próximo da origem.
  • Plano dado: 2x+y+3z=6.
  • Origem: o ponto (0,0,0).
  • Observação importante: queremos o ponto (x,y,z) que pertence ao plano e que minimiza a distância até a origem.

Passo 2

Transformar a minimização da distância em uma forma mais simples para trabalhar.
  • A distância entre um ponto (x,y,z) e a origem é \sqrt{x^2+y^2+z^2}. Trabalhar com raiz é desnecessário; minimizar a distância é equivalente a minimizar o quadrado da distância (a raiz é monotônica crescente).
  • Então definimos a função a minimizar:
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2,
que é mais simples (sem raiz) e tem mínimo no mesmo ponto que a distância.

Passo 3

Escrever a restrição explicitamente como função usada no método.
  • A restrição (o ponto deve estar no plano) é
g(x,y,z)=2x+y+3z-6=0.

Passo 4

Explicar a ideia do multiplicador de Lagrange, de forma didática.
  • A ideia: entre todos os pontos do plano, o ponto que minimiza f é tal que o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g. Intuitivamente, o gradiente aponta a direção de subida mais rápida; em restrição, a inclinação de f perpendicular ao plano deve coincidir com a normal do plano.
  • Formalmente, existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\nabla f(x,y,z)=\lambda \nabla g(x,y,z).
  • Isso combinado com a restrição g(x,y,z)=0 forma um sistema de equações para (x,y,z,\lambda).

Passo 5

Calcular os gradientes e montar as equações de Lagrange.
  • Calcular gradientes:
\nabla f(x,y,z)=(2x,\,2y,\,2z), \qquad \nabla g(x,y,z)=(2,\,1,\,3).
  • Igualando com o multiplicador:
(2x,2y,2z)=\lambda(2,1,3).
  • Isso dá três equações escalares:
2x=2\lambda,\qquad 2y=\lambda,\qquad 2z=3\lambda.

Passo 6

Resolver as equações das componentes em função de \lambda.
  • Das três equações acima isolamos x,y,z:
x=\lambda,\qquad y=\frac{\lambda}{2},\qquad z=\frac{3\lambda}{2}.

Passo 7

Impor a restrição do plano para encontrar \lambda.
  • Substituir x,y,z na equação do plano 2x+y+3z=6:
2(\lambda)+\left(\frac{\lambda}{2}\right)+3\left(\frac{3\lambda}{2}\right)=6.
  • Calcular passo a passo:
2\lambda+\frac{\lambda}{2}+\frac{9\lambda}{2}=2\lambda+\frac{10\lambda}{2}=2\lambda+5\lambda=7\lambda.
  • Portanto
7\lambda=6 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{6}{7}.

Passo 8

Encontrar as coordenadas do ponto substituindo \lambda.
  • Substituindo \lambda=\dfrac{6}{7} nas expressões de x,y,z:
x=\lambda=\frac{6}{7},\qquad y=\frac{\lambda}{2}=\frac{3}{7},\qquad z=\frac{3\lambda}{2}=\frac{9}{7}.

Passo 9

Verificação e interpretação geométrica rápida (por que é mínimo).
  • A função f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 é convexa (soma de quadrados) e o conjunto definido por g(x,y,z)=0 é um plano (conjunto afim). Em problemas convexos com restrição afim, qualquer ponto crítico pelo método de Lagrange é o mínimo global.
  • Geometricamente, o ponto encontrado é o pé da perpendicular do plano que passa pela origem (isto é, a projeção ortogonal da origem sobre o plano), logo é o ponto mais próximo da origem.

Passo 10

Calcular, se quiser, a distância mínima (opcional para conferir).
  • O quadrado da distância mínima é
x^2+y^2+z^2=\left(\frac{6}{7}\right)^2+\left(\frac{3}{7}\right)^2+\left(\frac{9}{7}\right)^2=\frac{36+9+81}{49}=\frac{126}{49}=\frac{18}{7}.
  • Portanto a distância mínima é
\sqrt{\frac{18}{7}}=\frac{3\sqrt{14}}{7}.
(Esta parte é só conferência; o enunciado pedia o ponto.)

Resposta

\left(\dfrac{6}{7},\,\dfrac{3}{7},\,\dfrac{9}{7}\right)

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