\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que vou responder sem perguntar nada:
- Dado o somatório
. - Vou determinar para quais valores de
essa série converge (domínio de convergência) e vou encontrar a soma fechada quando ela converge.
Passo 2
Reconhecer o tipo de série (uma aula curtinha sobre séries geométricas).
- Observe que
. Então a série é
- Isso é precisamente uma série geométrica com razão
. A fórmula clássica da série geométrica é: se então
Vou mostrar rapidinho de onde vem essa fórmula (assim fica fácil usar em prova).
Passo 3
Derivação da soma da geométrica (passo a passo, para decorar e reproduzir em prova).
- Defina a soma parcial
. - Multiplicando por
(assumindo ) obtém-se:
- Logo
- Se
, então quando , portanto
- Se
, a sequência não tende a zero (ou nem é limitada), então a série não converge.
Passo 4
Aplicar isso ao nosso caso
.
- Pelo resultado anterior, a série converge exatamente quando
, ou seja,
- Para tais
a soma é dada por substituir na fórmula:
Passo 5
Verificação nos extremos
(importante em prova).
- Para
: o termo geral é . Então a série fica , que diverge (soma dos 1 não converge). - Para
: o termo geral é . A série tem somas parciais que oscilam entre e , portanto não converge (não tem limite). Logo diverge. - Conclusão: os pontos de fronteira
não pertencem ao conjunto de convergência.
Passo 6
Resumo prático e dica para a prova (curta e doce).
- Sempre que vir
reconverta para e aplique a geométrica; verifique os extremos separadamente. - Alternativamente, dá para usar o teste da razão: calcular
e exigir que seja ; aqui daria , mesma condição.
Resposta
Converge somente para