\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que vou responder sem perguntar nada:
  • Dado o somatório \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}.
  • Vou determinar para quais valores de x essa série converge (domínio de convergência) e vou encontrar a soma fechada quando ela converge.

Passo 2

Reconhecer o tipo de série (uma aula curtinha sobre séries geométricas).
  • Observe que 2^{n} x^{n}=(2x)^{n}. Então a série é
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^{n}.
  • Isso é precisamente uma série geométrica com razão r=2x. A fórmula clássica da série geométrica é: se |r|<1 então
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Vou mostrar rapidinho de onde vem essa fórmula (assim fica fácil usar em prova).

Passo 3

Derivação da soma da geométrica (passo a passo, para decorar e reproduzir em prova).
  • Defina a soma parcial S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n}=1+r+r^{2}+\cdots+r^{N}.
  • Multiplicando por 1-r (assumindo r\neq1) obtém-se:
(1-r)S_N = (1+r+\cdots+r^{N}) - (r + r^{2}+\cdots+r^{N+1}) = 1 - r^{N+1}.
  • Logo
S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}.
  • Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, portanto
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\lim_{N\to\infty} S_N=\frac{1}{1-r}.
  • Se |r|\ge 1, a sequência r^{N+1} não tende a zero (ou nem é limitada), então a série não converge.

Passo 4

Aplicar isso ao nosso caso r=2x.
  • Pelo resultado anterior, a série converge exatamente quando |2x|<1, ou seja,
|x|<\tfrac{1}{2}.
  • Para tais x a soma é dada por substituir r=2x na fórmula:
\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (2x)^{n}=\frac{1}{1-2x},\qquad\text{para }|x|<\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Verificação nos extremos x=\pm\tfrac{1}{2} (importante em prova).
  • Para x=\tfrac{1}{2}: o termo geral é 2^{n}\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{n}=1. Então a série fica \sum_{n=0}^{\infty}1, que diverge (soma dos 1 não converge).
  • Para x=-\tfrac{1}{2}: o termo geral é 2^{n}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{n}=(-1)^{n}. A série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} tem somas parciais que oscilam entre 1 e 0, portanto não converge (não tem limite). Logo diverge.
  • Conclusão: os pontos de fronteira x=\pm\tfrac{1}{2} não pertencem ao conjunto de convergência.

Passo 6

Resumo prático e dica para a prova (curta e doce).
  • Sempre que vir \sum a^{n} x^{n} reconverta para \sum (ax)^{n} e aplique a geométrica; verifique os extremos separadamente.
  • Alternativamente, dá para usar o teste da razão: calcular \lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\bigr| e exigir que seja <1; aqui daria \lim |2x| = |2x|<1, mesma condição.

Resposta

\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 2^{n} x^{n}=\frac{1}{1-2x} para |x|<\tfrac{1}{2}.
Converge somente para |x|<\tfrac{1}{2}; em x=\pm\tfrac{1}{2} a série diverge.

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