Determine as áreas delimitadas:
3. Pela função f(x)=\cos (x) e o eixo x, entre x=-\pi e x=\pi.

Passo 1

O enunciado pede: determinar as áreas delimitadas pela função f(x)=\cos(x) e o eixo x, no intervalo [- \pi,\pi].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=\cos(x).
  • O intervalo considerado é x\in[-\pi,\pi].
  • As áreas pedidas são as regiões entre o gráfico de y=\cos(x) e o eixo x dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro passo técnico: identificar onde a função muda de sinal (onde cruza o eixo x), porque isso separa as regiões cujo valor absoluto precisaremos integrar. As raízes de \cos(x) são os x tais que \cos(x)=0. Sabemos que
\cos(x)=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [- \pi,\pi] aparecem duas raízes:
x=-\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad x=\frac{\pi}{2}.
Logo o intervalo [- \pi,\pi] se divide em três subintervalos:
[-\pi,-\tfrac{\pi}{2}],\qquad [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}],\qquad [\tfrac{\pi}{2},\pi].

Passo 3

Analisar o sinal de \cos(x) em cada subintervalo (isso diz se a função está acima ou abaixo do eixo x):
  • Em [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]: por exemplo \cos(-\pi)=-1<0 e \cos(-\tfrac{\pi}{2})=0, então \cos(x)\le0 ali (função abaixo do eixo).
  • Em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]: por exemplo \cos(0)=1>0, logo \cos(x)\ge0 (acima do eixo).
  • Em [\tfrac{\pi}{2},\pi]: por exemplo \cos(\pi)=-1<0, logo \cos(x)\le0 (abaixo do eixo).
Portanto existem três regiões: duas simétricas abaixo do eixo (nas pontas) e uma central acima do eixo.

Passo 4

Conceito de área entre curva e eixo x: se a função for não negativa num intervalo [a,b], a área entre a curva e o eixo é
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.Á
Se a função for não positiva, a área geométrica é o negativo da integral (isto é, a integral dá valor negativo e tomamos o módulo). De forma geral, a área geométrica é
\text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx,Á
que, na prática, calculamos quebrando em subintervalos onde f tem sinal constante.
A primitiva de \cos(x) é \sin(x). Vou usar isso para calcular as integrais.

Passo 5

Calcular a área da região esquerda, no intervalo [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]. Como \cos(x)\le0 aí, a área geométrica é
A_{\text{esq}}=\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} |\cos(x)|\,dx = -\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx.
Usando a primitiva \sin(x):
\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = \sin(x)\Big|_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} = \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin(-\pi).
Agora os valores conhecidos: \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1 e \sin(-\pi)=0. Assim
\int_{-\pi}^{-\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = -1-0 = -1.
Como a integral é -1 (valor assinado), a área geométrica é o módulo:
A_{\text{esq}} = -(-1) = 1.

Passo 6

Calcular a área da região central, no intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Aqui \cos(x)\ge0, então
A_{\text{cent}}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx.
Usando a primitiva:
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = \sin(x)\Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)-\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right).
Sabendo que \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1, obtemos
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = 1-(-1)=2.
Portanto
A_{\text{cent}} = 2.

Passo 7

Calcular a área da região direita, no intervalo [\tfrac{\pi}{2},\pi]. Por simetria e pelo sinal (negativo) temos que será igual à esquerda, mas vamos calcular:
A_{\text{dir}}=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\cos(x)|\,dx = -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x)\,dx.
A integral assinada é
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x)\,dx = \sin(x)\Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0-1=-1,
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A_{\text{dir}} = -(-1)=1.

Passo 8

Somando as áreas geométricas das três regiões obtemos a área total (somando valores absolutos):
A_{\text{total}} = A_{\text{esq}} + A_{\text{cent}} + A_{\text{dir}} = 1 + 2 + 1 = 4.
Observação útil: a integral definida sem o módulo em todo o intervalo [- \pi,\pi]
\int_{-\pi}^{\pi} \cos(x)\,dx = \sin(x)\Big|_{-\pi}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin(-\pi)=0-0=0,
ou seja, a área algébrica (com sinais) se cancela — as partes negativas anulam as positivas — mas a área geométrica total é 4.

Resposta

Área em [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]: 1
Área em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]: 2
Área em [\tfrac{\pi}{2},\pi]: 1
Área total (soma das áreas geométricas): 4

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