Determine as áreas delimitadas:
3. Pela função f(x)=\cos (x) e o eixo x, entre x=-\pi e x=\pi.
Passo 1
O enunciado pede: determinar as áreas delimitadas pela função f(x)=\cos(x) e o eixo x, no intervalo [- \pi,\pi].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A função é f(x)=\cos(x).
O intervalo considerado é x\in[-\pi,\pi].
As áreas pedidas são as regiões entre o gráfico de y=\cos(x) e o eixo x dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro passo técnico: identificar onde a função muda de sinal (onde cruza o eixo x), porque isso separa as regiões cujo valor absoluto precisaremos integrar. As raízes de \cos(x) são os x tais que \cos(x)=0. Sabemos que
Analisar o sinal de \cos(x) em cada subintervalo (isso diz se a função está acima ou abaixo do eixo x):
Em [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]: por exemplo \cos(-\pi)=-1<0 e \cos(-\tfrac{\pi}{2})=0, então \cos(x)\le0 ali (função abaixo do eixo).
Em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]: por exemplo \cos(0)=1>0, logo \cos(x)\ge0 (acima do eixo).
Em [\tfrac{\pi}{2},\pi]: por exemplo \cos(\pi)=-1<0, logo \cos(x)\le0 (abaixo do eixo).
Portanto existem três regiões: duas simétricas abaixo do eixo (nas pontas) e uma central acima do eixo.
Passo 4
Conceito de área entre curva e eixo x: se a função for não negativa num intervalo [a,b], a área entre a curva e o eixo é
\text{Área}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Se a função for não positiva, a área geométrica é o negativo da integral (isto é, a integral dá valor negativo e tomamos o módulo). De forma geral, a área geométrica é
\text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx,
que, na prática, calculamos quebrando em subintervalos onde f tem sinal constante.
A primitiva de \cos(x) é \sin(x). Vou usar isso para calcular as integrais.
Passo 5
Calcular a área da região esquerda, no intervalo [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]. Como \cos(x)\le0 aí, a área geométrica é
Calcular a área da região direita, no intervalo [\tfrac{\pi}{2},\pi]. Por simetria e pelo sinal (negativo) temos que será igual à esquerda, mas vamos calcular:
ou seja, a área algébrica (com sinais) se cancela — as partes negativas anulam as positivas — mas a área geométrica total é 4.
Resposta
Área em [-\pi,-\tfrac{\pi}{2}]: 1
Área em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]: 2
Área em [\tfrac{\pi}{2},\pi]: 1
Área total (soma das áreas geométricas): 4