Determine as áreas por integração dupla em coordenadas polares:
(a) Área do círculo de raio 1;
(b) Área limitada pelo cardióide ; (c) Área exterior ao círculo e interior a .
Resp.: a. ; b. ; c. .
Passo 1
O enunciado pede para calcular três áreas usando integração dupla em coordenadas polares. O conteúdo principal é a fórmula da área em coordenadas polares:
Quando a região é simplesmente “tudo dentro” de uma curva para de a , podemos usar diretamente
Vamos aplicar isso em cada item.
Passo 2
Para o círculo de raio , a fronteira é e vai de a . Usando
primeiro integramos em :
Depois em theta:
A = integral0^2pi 12 ,dtheta = 12l(2pi-0r) = pi
Passo 3
Para o cardioide r=1+costheta, a região está descrita por 0<=theta<=2pi e 0<= r<=1+costheta. Usamos a fórmula simplificada:
A = 12 integral0^2pi l(1+costhetar)^2 dtheta
Expandindo e usando cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta):