Determine as áreas por integração dupla em coordenadas polares:
(a) Área do círculo de raio 1;
(b) Área limitada pelo cardióide r=1+cos theta; (c) Área exterior ao círculo r=1 e interior a r=2 sen theta.
Resp.: a. pi; b. 32 pi; c. pi3+raiz32.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três áreas usando integração dupla em coordenadas polares. O conteúdo principal é a fórmula da área em coordenadas polares:
A = integral duplaR dA = integraltheta=alpha^betaintegralr=r1(theta)^r2(theta) r,dr,dtheta
Quando a região é simplesmente “tudo dentro” de uma curva r = f(theta) para theta de alpha a beta, podemos usar diretamente
A = 12integralalpha^beta l(f(theta)r)^2 dtheta
Vamos aplicar isso em cada item.

Passo 2

Para o círculo de raio 1, a fronteira é r=1 e theta vai de 0 a 2pi. Usando
A = integral0^2piintegral0^1 r,dr,dtheta,
primeiro integramos em r:
integral0^1 r,dr = r^22|0^1 = 12
Depois em theta:
A = integral0^2pi 12 ,dtheta = 12l(2pi-0r) = pi

Passo 3

Para o cardioide r=1+costheta, a região está descrita por 0<=theta<=2pi e 0<= r<=1+costheta. Usamos a fórmula simplificada:
A = 12 integral0^2pi l(1+costhetar)^2 dtheta
Expandindo e usando cos^2theta = tfrac12(1+cos2theta):
l(1+costhetar)^2 = 1 + 2costheta + cos^2theta = 1 + 2costheta + tfrac12(1+cos2theta) = tfrac32 + 2costheta + tfrac12cos2theta
Então
integral0^2pil(1+costhetar)^2 dtheta = integral0^2pi!l(tfrac32 + 2costheta + tfrac12cos2thetar)dtheta = tfrac32cdot2pi + 0 + 0 = 3pi
Multiplicando por tfrac12
A = 12cdot3pi = 3pi2

Passo 4

Para a região exterior ao círculo r=1 e interior à curva r=2sintheta, precisamos achar os ângulos onde elas se intersectam:
1 = 2sintheta Longrightarrow sintheta = tfrac12 Longrightarrow theta = pi6,;5pi6
Logo theta varia de pi/6 a 5pi/6 e, para cada theta, r vai de 1 a 2sintheta. Assim
A = integraltheta=pi/6^5pi/6integralr=1^2sintheta r,dr,dtheta = integralpi/6^5pi/6 [r^22]1^2sintheta dtheta = 12integralpi/6^5pi/6l(4sin^2theta -1r)dtheta
Usando sin^2theta = tfrac12(1-cos2theta), o integrando é
4sin^2theta -1 = 4cdottfrac12(1-cos2theta)-1 = 2 -2cos2theta -1 = 1 -2cos2theta
Então
A = 12integralpi/6^5pi/6!(1 -2cos2theta),dtheta = 12l[theta - sin2thetar]pi/6^5pi/6
Calculando nos limites:
l[theta - sin2thetar]pi/6^5pi/6 = l( 5pi6 - sin5pi3r) - l( pi6 - sinpi3r) = 4pi6 + raiz3 = 2pi3 + raiz3
Multiplicando por tfrac12 resulta
A = pi3 + raiz32

Resposta

a. pi
b. tfrac3pi2
c. pi3 + raiz32

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