Escrever em coordenadas cartesianas:
(a) r=cos theta
(b) r=2 sen theta
(c) r=23 cos theta-5 sen theta
(d) r=3
(e) r=cossec theta
(f) r=1+2 r cos theta

Passo 1

O enunciado pede para converter várias curvas dadas em coordenadas polares, r e theta, para coordenadas cartesianas, x e y. Para isso, vamos usar as relações fundamentais
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2 = x^2 + y^2

Passo 2

Para (a) r = costheta, multiplicamos ambos os lados por r:
r^2 = rcostheta
Agora substituímos r^2 = x^2+y^2 e rcostheta = x, obtendo
x^2 + y^2 = x

Passo 3

Para (b) r = 2sintheta, multiplicamos por r:
r^2 = 2rsintheta
Substituindo r^2 = x^2+y^2 e rsintheta = y, vem
x^2 + y^2 = 2y

Passo 4

Para (c)
r = 23costheta - 5sintheta,
multiplicamos ambos os lados pelo denominador:
rl(3costheta - 5sinthetar) = 2
Usando rcostheta = x e rsintheta = y, resulta
3x - 5y = 2

Passo 5

Para (d) r = 3, basta lembrar que r^2 = x^2 + y^2. Assim,
raizx^2 + y^2 = 3
ou, elevando ao quadrado,
x^2 + y^2 = 9

Passo 6

Para (e) r = csctheta = 1/sintheta, multiplicamos por sintheta:
rsintheta = 1
Como rsintheta = y, vem
y = 1

Passo 7

Para (f)
r = 1 + 2rcostheta,
isolamos r:
r - 2rcostheta = 1 Longrightarrow rl(1 - 2costhetar) = 1 Longrightarrow r = 1 + 2x
pois rcostheta = x. Logo
raizx^2 + y^2 = 1 + 2x
Elevando ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = (1 + 2x)^2 Longrightarrow x^2 + y^2 = 1 + 4x + 4x^2 Longrightarrow 3x^2 - y^2 + 4x + 1 = 0

Resposta

(a)
x^2 + y^2 = x
(b)
x^2 + y^2 = 2y
(c)
3x - 5y = 2
(d)
x^2 + y^2 = 9
(e)
y = 1
(f)
x^2 + y^2 = (1 + 2x)^2 ou 3x^2 - y^2 + 4x + 1 = 0

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