Escrever em coordenadas polares:
(a) x^2+y^2=4
(b) x=4
(c) y=k, k in R
(d) x=y
(e) x^2+y^2-2 x=0
(f) x^2+(y-3)^2=9

Passo 1

O enunciado pede para escrever as curvas dadas pelas equações
x^2+y^2=4, x=4, y=k, x=y, x^2+y^2-2x=0 e x^2+(y-3)^2=9 em coordenadas polares. Para isso usamos as transformações
x = rcostheta, y = rsintheta

Passo 2

(a) Na equação
x^2+y^2=4
substituímos x = rcostheta e y = rsintheta, obtendo
r^2cos^2theta + r^2sin^2theta = 4 Rightarrow r^2(cos^2theta+sin^2theta)=4 Rightarrow r^2=4
Como usualmente r>=0, temos
r=2

Passo 3

(b) Na reta
x=4
temos
rcostheta=4 Rightarrow r = 4costheta = 4sectheta,
válido para costhetaneq0.

Passo 4

(c) Na reta horizontal
y = k, kinR
substituímos
rsintheta = k Rightarrow r = ksintheta = k,csctheta,
válido para sinthetaneq0.

Passo 5

(d) Na reta
x = y
temos
rcostheta = rsintheta
Se rneq0, divide-se por r e obtém-se
costheta = sintheta Rightarrow tantheta = 1 Rightarrow theta = pi4 + npi,;ninZ

Passo 6

(e) Na circunferência deslocada
x^2+y^2-2x=0
substituímos
r^2 - 2rcostheta = 0 Leftrightarrow rl(r - 2costhetar)=0
Logo
r=0 ou r = 2costheta

Passo 7

(f) Na circunferência
x^2+(y-3)^2=9
expandimos e substituímos:
x^2+y^2-6y+9=9 Rightarrow r^2-6rsintheta=0 Leftrightarrow rl(r-6sinthetar)=0
Assim
r=0 ou r = 6sintheta

Resposta

(a) r=2
(b) r=4sectheta
(c) r=k,csctheta
(d) theta=tfracpi4+npi,;ninZ
(e) r=0 ou r=2costheta
(f) r=0 ou r=6sintheta

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