Determine o argumento dos complexos e a seguir faça sua representação geométrica:
z=-2+2 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=-2+2\sqrt{3}\,i e pede duas coisas: (1) determinar o argumento de z e (2) fazer sua representação geométrica.
Informações relevantes fornecidas: as partes real e imaginária de z são \operatorname{Re}(z) = -2 e \operatorname{Im}(z) = 2\sqrt{3}.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é o argumento de um número complexo. O argumento de z é o ângulo \theta (medido a partir do eixo dos reais positivos, no sentido anti-horário) tal que z pode ser escrito em forma polar como
z = r\big(\cos\theta + i\sin\theta\big),
onde r é o módulo de z. O módulo r é dado por
r = \sqrt{(\operatorname{Re}(z))^{2} + (\operatorname{Im}(z))^{2}}.
Vamos calcular r passo a passo.

Passo 3

Calculemos o módulo:
r = \sqrt{(-2)^{2} + (2\sqrt{3})^{2}}.
Desenvolvendo,
(-2)^{2} = 4,\qquad (2\sqrt{3})^{2} = 4\cdot 3 = 12.
Somando,
r = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4.
Portanto o ponto está a distância 4 da origem.

Passo 4

Agora encontramos o argumento \theta. A tangente do ângulo é a razão entre parte imaginária e parte real:
\tan\theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Re}(z)} = \frac{2\sqrt{3}}{-2} = -\sqrt{3}.
A equação \tan\theta = -\sqrt{3} tem soluções básicas \theta = -\frac{\pi}{3} + k\pi para k\in\mathbb{Z}. Mas atenção: precisamos escolher a solução que corresponda ao quadrante em que o ponto (-2,\,2\sqrt{3}) está. Como \operatorname{Re}(z) = -2 < 0 e \operatorname{Im}(z) = 2\sqrt{3} > 0, o ponto está no segundo quadrante.

Passo 5

Uma maneira prática é calcular o ângulo de referência (o ângulo formado com o eixo x positivo em módulo). O ângulo de referência \alpha satisfaz
\alpha = \arctan\big(\big|\tan\theta\big|\big) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.
No segundo quadrante o ângulo \theta medido a partir do eixo positivo é
\theta = \pi - \alpha = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.
Verificamos que \tan\big(\tfrac{2\pi}{3}\big) = -\sqrt{3}, compatível com o cálculo anterior, e que \tfrac{2\pi}{3} está no intervalo correto para o segundo quadrante.

Passo 6

Portanto o argumento principal (normalmente chamado de \operatorname{Arg}z, no intervalo (-\pi,\pi] ou em [0,2\pi) conforme convenção) é
\operatorname{Arg}z = \frac{2\pi}{3}.
A família completa de argumentos é
\arg z = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Vamos montar também a forma polar e exponencial de z, que são úteis para a representação geométrica. Usando r=4 e \theta=\tfrac{2\pi}{3},
z = 4\big(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\big) = 4\,e^{i\frac{2\pi}{3}}.

Passo 8

Descrição geométrica (como desenhar/interpretar no plano complexo):
  • O ponto que representa z tem coordenadas (-2,\;2\sqrt{3}). (Peguei essas coordenadas diretamente das partes real e imaginária fornecidas no enunciado.)
  • O vetor que vai da origem até esse ponto tem comprimento 4 (o módulo) e faz um ângulo de \tfrac{2\pi}{3} radianos, isto é, 120^\circ, medido a partir do eixo real positivo no sentido anti-horário.
  • Na prática, ao desenhar: marque o ponto (-2,2\sqrt{3}), trace a reta do ponto até a origem; essa reta tem comprimento 4 e forma 120^\circ com o eixo x. Pode-se também desenhar o arco que indica o ângulo \tfrac{2\pi}{3} entre o eixo positivo e o vetor.

Resposta

\arg z = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z} (argumento principal \operatorname{Arg}z=\dfrac{2\pi}{3})
Ponto no plano: (-2,\;2\sqrt{3}); módulo r=4; forma polar z=4\big(\cos\tfrac{2\pi}{3}+i\sin\tfrac{2\pi}{3}\big)=4e^{i\frac{2\pi}{3}}

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