Determine o argumento dos complexos e a seguir faça sua representação geométrica:
z=4 i

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o argumento do número complexo e (2) fazer a representação geométrica.
A informação dada é o complexo z=4i. Listei os dados importantes: a parte real é 0 e a parte imaginária é 4.

Passo 2

Vamos lembrar como escrever um complexo e identificar suas partes. Um número complexo qualquer é escrito como
z = a + bi,
onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Para o nosso número z=4i temos explicitamente
a = 0,\qquad b = 4.
Isso significa que, no plano complexo (plano xy com x eixo real e y eixo imaginário), o ponto correspondente a z é (0,4).

Passo 3

O que é o argumento de um complexo? O argumento de z, denotado \arg(z), é o ângulo \theta entre o eixo real positivo e o vetor que liga a origem ao ponto (a,b). Em geral podemos calcular \theta usando
\theta = \arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
mas atenção: essa fórmula precisa de correção dependendo do quadrante (sinal de a e b). Existem casos especiais quando a=0 (ou seja, o ponto está sobre o eixo imaginário). Nesses casos:
  • se a=0 e b>0, então \arg(z)=\tfrac{\pi}{2};
  • se a=0 e b<0, então \arg(z)=-\tfrac{\pi}{2}.
Eu expliquei isso porque a fórmula \arctan(b/a) não é definida para a=0, então precisamos tratar a situação separadamente.

Passo 4

Aplicando ao nosso z: temos a=0 e b=4>0. Caimos no caso especial, logo
\arg(z)=\frac{\pi}{2}.
Também é útil calcular o módulo (comprimento do vetor) para uma representação polar:
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=4.
Portanto podemos escrever z na forma polar como
z = |z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)=4\big(\cos\tfrac{\pi}{2} + i\sin\tfrac{\pi}{2}\big),
ou, de forma exponencial,
z = 4e^{i\pi/2}.

Passo 5

Como representar geometricamente (passo a passo para desenhar na prova): desenhe um plano com eixo horizontal (eixo real) e eixo vertical (eixo imaginário). Marque o ponto (0,4) no eixo imaginário positivo — isto é, quatro unidades acima da origem. Trace o vetor que vai da origem até (0,4). Esse vetor tem comprimento 4 e forma um ângulo de \tfrac{\pi}{2} (90 graus) com o eixo real positivo. Se quiser indicar tudo no desenho: escreva ao lado do vetor o módulo 4 e marque o ângulo \tfrac{\pi}{2} entre o eixo real positivo e o vetor.

Resposta

\arg(z)=\dfrac{\pi}{2}
Ponto (0,4) no plano complexo; vetor de módulo 4 formando ângulo \dfrac{\pi}{2} com o eixo real positivo.

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