Determine o argumento dos complexos e a seguir faça sua representação geométrica:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o argumento do número complexo e (2) fazer a representação geométrica.
A informação dada é o complexo . Listei os dados importantes: a parte real é
e a parte imaginária é
.
A informação dada é o complexo
Passo 2
Vamos lembrar como escrever um complexo e identificar suas partes. Um número complexo qualquer é escrito como
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Para o nosso número
temos explicitamente
Isso significa que, no plano complexo (plano
com
eixo real e
eixo imaginário), o ponto correspondente a
é
.
Passo 3
O que é o argumento de um complexo? O argumento de
, denotado
, é o ângulo
entre o eixo real positivo e o vetor que liga a origem ao ponto
. Em geral podemos calcular
usando
mas atenção: essa fórmula precisa de correção dependendo do quadrante (sinal de
e
). Existem casos especiais quando
(ou seja, o ponto está sobre o eixo imaginário). Nesses casos:
- se
e , então ; - se
e , então .
Eu expliquei isso porque a fórmula
não é definida para
, então precisamos tratar a situação separadamente.
Passo 4
Aplicando ao nosso
: temos
e
. Caimos no caso especial, logo
Também é útil calcular o módulo (comprimento do vetor) para uma representação polar:
Portanto podemos escrever
na forma polar como
ou, de forma exponencial,
Passo 5
Como representar geometricamente (passo a passo para desenhar na prova): desenhe um plano com eixo horizontal (eixo real) e eixo vertical (eixo imaginário). Marque o ponto
no eixo imaginário positivo — isto é, quatro unidades acima da origem. Trace o vetor que vai da origem até
. Esse vetor tem comprimento
e forma um ângulo de
(90 graus) com o eixo real positivo. Se quiser indicar tudo no desenho: escreva ao lado do vetor o módulo
e marque o ângulo
entre o eixo real positivo e o vetor.
Resposta
Ponto