Use critério da razão para estudar a convergência das séries
sumn=1^infty n e^-n^2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n e^-n^2
usando o critério da razão. O critério da razão diz: para os termos an, calculemos
L = limntoinftyl|an+1anr|
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, ela diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Definimos
an = n e^-n^2
Então
an+1an = (n+1)e^-(n+1)^2n e^-n^2 = n+1n,e^-(n+1)^2 + n^2 = l(1+1nr)e^-2n-1

Passo 3

Agora avaliamos o limite
L = limntoinftyl(1+1nr)e^-2n-1 = l(limntoinfty1+tfrac1nr)cdotl(limntoinftye^-2n-1r) = 1cdot 0 = 0

Passo 4

Como L=0<1, o critério da razão assegura que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n e^-n^2 converge.

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