Estude quanto a convergência, as séries a seguir descrevendo o critério utilizado para o estudo.
sumn=1^infty (2 n-1)(n^2-1)(n+1)(n^2+4)^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
sumn=1^infty (2n - 1)(n^2 - 1)(n + 1)(n^2 + 4)^2
O conteúdo que vamos precisar envolve critérios de convergência de séries, como o Teste de Comparação por Limite. Vamos passo a passo entender se essa série chega a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender como os termos se comportam quando n fica muito grande (ou seja, quando n tende ao infinito). Observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
  • No numerador: (2n - 1)(n^2 - 1) 2n cdot n^2 = 2n^3
  • No denominador: (n + 1)(n^2 + 4)^2 n cdot (n^2)^2 = n cdot n^4 = n^5
Então, para grandes valores de n , a fração se comporta como:
2n^3n^5 = 2n^2
Isso nos dá uma ideia de que a série original se assemelha a:
sumn=1^infty 2n^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação por Limite. Esse teste nos diz que se temos duas séries sum an e sum bn com an > 0 e bn > 0 para todo n , e se:
limn to infty anbn = L
onde 0 < L < infty , então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
No nosso caso, vamos comparar an = (2n - 1)(n^2 - 1)(n + 1)(n^2 + 4)^2 com bn = 1n^2 .
Vamos calcular o limite:
limn to infty anbn = limn to infty (2n - 1)(n^2 - 1)(n + 1)(n^2 + 4)^21n^2 = limn to infty (2n - 1)(n^2 - 1) cdot n^2(n + 1)(n^2 + 4)^2
Simplificando os termos de maior grau:
limn to infty 2n cdot n^2 cdot n^2n cdot n^4 = limn to infty 2n^5n^5 = 2
Como o limite L = 2 é um número finito e positivo, segundo o Teste de Comparação por Limite, as duas séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Resposta

A série sumn=1^infty (2n - 1)(n^2 - 1)(n + 1)(n^2 + 4)^2 é convergente, utilizando o Teste de Comparação por Limite.

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