Estude quanto a convergência, as séries a seguir descrevendo o critério utilizado para o estudo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma série infinita para analisar se ela converge ou diverge:
O conteúdo que vamos precisar envolve critérios de convergência de séries, como o Teste de Comparação por Limite. Vamos passo a passo entender se essa série chega a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender como os termos se comportam quando
fica muito grande (ou seja, quando
tende ao infinito). Observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador:
- No numerador:
→ - No denominador:
→
Então, para grandes valores de
, a fração se comporta como:
Isso nos dá uma ideia de que a série original se assemelha a:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste de Comparação por Limite. Esse teste nos diz que se temos duas séries
e
com
e
para todo
, e se:
onde
, então ambas as séries convergem ou divergem juntas.
No nosso caso, vamos comparar
com
.
Vamos calcular o limite:
Simplificando os termos de maior grau:
Como o limite
é um número finito e positivo, segundo o Teste de Comparação por Limite, as duas séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência.
Resposta
A série
é convergente, utilizando o Teste de Comparação por Limite.