2.9 Determine as assíntotas horizontais e verticais da curva
f(x)=2-x(x-1)^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função racional f(x)=2 - x(x - 1)^2. O conteúdo que vamos usar é: para assíntotas verticais, verificar zeros do denominador; para assíntotas horizontais, calcular limites de f(x) quando x to pminfty.

Passo 2

Para achar assíntotas verticais, faço (x - 1)^2 = 0, o que dá x = 1. Como o denominador zera em x=1 e o numerador 2 - x em x=1 vale 1, temos f(x)to +infty de ambos os lados de x=1. Logo, há assíntota vertical em x = 1.

Passo 3

Para achar assíntota horizontal, analiso o comportamento em infinito. Como o grau do numerador (1) é menor que o grau do denominador (2), o limite tende a zero:
limxtopminftyf(x)=limxtopminfty2-x(x-1)^2=0
Logo, existe uma assíntota horizontal em y = 0.

Resposta

Assíntota vertical: x = 1; assíntota horizontal: y = 0.

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