Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
f(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=1x
determinar suas assíntotas verticais e horizontais e depois esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar limites: no ponto em que o denominador zera para assíntota vertical e em xtopminfty para assíntota horizontal.

Passo 2

Para achar a assíntota vertical, analisamos o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 0 pelos dois lados:
limxto0^+1x=+infty e limxto0^-1x=-infty
Como a função “explode” para mais e para menos infinitos em torno de x=0, concluímos que
x=0
é assíntota vertical.

Passo 3

Para achar a assíntota horizontal, calculamos os limites em xtopminfty:
limxto+infty1x=0 e limxto-infty1x=0
Como em ambos os casos a função tende a zero, temos a assíntota horizontal
y=0

Passo 4

Agora esboçamos o gráfico qualitativamente:
  • Para x>0, f(x)>0, o ramo parte de +infty em xto0^+ e decresce rumo a 0 quando xto+infty.
  • Para x<0, f(x)<0, o ramo parte de -infty em xto0^- e cresce (em valor negativo) rumo a 0 quando xto-infty.
    Cada ramo é uma hipérbole equilátera que se aproxima das retas x=0 e y=0 sem tocá-las, ocupando os quadrantes I e III.

Resposta

Assíntotas verticais: x=0
Assíntotas horizontais: y=0
Gráfico: hipérbole nos quadrantes I e III, aproximando-se de x=0 e y=0.

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