Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função f(x)=
e depois esboçar o seu gráfico. Vamos usar conceitos de limites, grau de polinômios e interceptos para isso.
Passo 2
Para achar a assíntota vertical lembramos que ela ocorre onde o denominador zera (desde que o numerador não anule junto). Aqui o denominador x−2=0 tem raiz x=2. Como a função tende a ±∞ quando x→2 por valores à direita e à esquerda, temos uma assíntota vertical em x=2.
Passo 3
Para achar a assíntota horizontal comparamos o grau do numerador e do denominador. Ambos são de grau 1, então a assíntota horizontal é a reta y igual à razão dos coeficientes principais: y=1/1=1. Isso pode ser confirmado por
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico precisamos de alguns pontos e do comportamento da função. O zero de f(x) vem de x+2=0, ou seja x=−2, dando intercepto (−2,0). O intercepto em y obtemos em x=0: f(0)=2/−2=−1, ponto (0,−1).
Analisando o sinal e limites: quando x→2⁻, f→−∞; quando x→2⁺, f→+∞. Para x→±∞, f→1. Escolhendo mais um ponto em cada ramo (por exemplo f(1)=−3 e f(3)=5) vemos a forma aproximada. Com isso, desenhamos dois ramos hiperbolóides aproximando-se de x=2 e de y=1, passando pelos pontos encontrados.
Analisando o sinal e limites: quando x→2⁻, f→−∞; quando x→2⁺, f→+∞. Para x→±∞, f→1. Escolhendo mais um ponto em cada ramo (por exemplo f(1)=−3 e f(3)=5) vemos a forma aproximada. Com isso, desenhamos dois ramos hiperbolóides aproximando-se de x=2 e de y=1, passando pelos pontos encontrados.
Resposta
Assíntota vertical: x=2
Assíntota horizontal: y=1
Interceptos: (−2,0) e (0,−1)
Gráfico com dois ramos hiperbolóides aproximando-se de x=2 e y=1
Assíntota horizontal: y=1
Interceptos: (−2,0) e (0,−1)
Gráfico com dois ramos hiperbolóides aproximando-se de x=2 e y=1