Resolva a equação
a.
e
b. Não consegui resolver
a.
b. Não consegui resolver
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial pra resolver:
. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, que estuda como funções estão relacionadas através de suas derivadas. Para resolver essa equação, a gente vai precisar identificar se ela é exata ou se dá pra torná-la exata, e então aplicar métodos de integração apropriados.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma
é exata se
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 3
Para encontrar o fator integrante, vamos supor que ele depende só de
, ou seja,
. Multiplicamos toda a equação por
:
Agora, precisamos que:
Calculando:
Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial para
.
Passo 4
Resolvendo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O fator integrante para essa equação é:
Multiplicando a equação original por
:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
para simplificar, então
.
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
da equação original:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 7
Portanto, a função
é:
Rearranjando para isolar
:
Além disso, como multiplicamos por
, devemos considerar o caso onde
separadamente, que também é uma solução da equação original.
Resposta
A solução da equação diferencial é:
E também
é uma solução.
Alternativa correta: a. $ y = \frac{x^{4}}{3} - x \ln |x| + Cx $ e $ x \equiv 0 $