Resolva a equação (x^4-x+y) d x-x d y=0
a. y=x^43-x ln |x|+C x e x equiv 0
b. Não consegui resolver

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial pra resolver: (x^4 - x + y) dx - x dy = 0. Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais, que estuda como funções estão relacionadas através de suas derivadas. Para resolver essa equação, a gente vai precisar identificar se ela é exata ou se dá pra torná-la exata, e então aplicar métodos de integração apropriados.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial na forma M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é exata se partial Mpartial y = partial Npartial x.
Aqui, temos:
  • M(x,y) = x^4 - x + y
  • N(x,y) = -x
Calculando as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y = 1
  • partial Npartial x = -1
Como 1 neq -1, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, vamos supor que ele depende só de x, ou seja, μ(x). Multiplicamos toda a equação por μ(x):
μ(x) (x^4 - x + y) dx - μ(x) x dy = 0
Agora, precisamos que:
ddy[μ(x) (x^4 - x + y)] = ddx[-μ(x) x]
Calculando:
μ(x) cdot 1 = -μ'(x) x - μ(x)
Rearranjando:
μ'(x) x + μ(x) + μ(x) = 0 Rightarrow μ'(x) x + 2μ(x) = 0
Essa é uma equação diferencial para μ(x).

Passo 4

Resolvendo μ'(x) x + 2μ(x) = 0:
Dividindo ambos os lados por x:
μ'(x) + 2x μ(x) = 0
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. O fator integrante para essa equação é:
exp(integral 2x dx) = exp(2 ln|x|) = x^2
Multiplicando a equação original por x^2:
x^2 μ'(x) + 2x^2 μ(x) = 0 Rightarrow ddx [μ(x) x^2] = 0
Integrando ambos os lados:
μ(x) x^2 = C Rightarrow μ(x) = Cx^2
Podemos escolher C = 1 para simplificar, então μ(x) = 1x^2.

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original por μ(x) = 1x^2:
1x^2 (x^4 - x + y) dx - 1x^2 x dy = 0
Simplificando:
(x^2 - 1x + yx^2) dx - 1x dy = 0
Agora, a equação é exata. Isso significa que existe uma função F(x,y) tal que:
partial Fpartial x = x^2 - 1x + yx^2

Passo 6

Integrando partial Fpartial x em relação a x:
F(x,y) = integral (x^2 - 1x + yx^2) dx = x^33 - ln|x| - yx + h(y)
Onde h(y) é uma função de y.
Para encontrar h(y), derivamos F(x,y) em relação a y e igualamos a partial Fpartial y da equação original:
partial Fpartial y = -1x + h'(y) = -1x
Isso implica que h'(y) = 0, então h(y) é uma constante, que podemos chamar de C.

Passo 7

Portanto, a função F(x,y) é:
F(x,y) = x^33 - ln|x| - yx + C = 0
Rearranjando para isolar y:
yx = x^33 - ln|x| + C Rightarrow y = x^43 - x ln|x| + Cx
Além disso, como multiplicamos por μ(x) = 1x^2, devemos considerar o caso onde x = 0 separadamente, que também é uma solução da equação original.

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y = x^43 - x ln|x| + Cx
E também x equiv 0 é uma solução.
Alternativa correta: a. $ y = \frac{x^{4}}{3} - x \ln |x| + Cx $ e $ x \equiv 0 $

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