Mostre se
e
são funções definidas para todo
próximo de um ponto
tais que
e existe
tal qual
para todo
com
para algum
. Então,
. Depois, mostre que o resultado acima ainda é válido se tivermos
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos funções f e g definidas perto de um ponto x₀ ∈ ℝ, com limₓ→ₓ₀ |f(x)| = 0 e existe c > 0 tal que |g(x)| ≤ c sempre que 0 < |x – x₀| < δ (para algum δ > 0), então limₓ→ₓ₀ f(x)g(x) = 0. Depois, estender o argumento para o caso em que sabemos apenas limₓ→ₓ₀ f(x) = 0. Vamos usar a definição de limite: dizer que limₓ→ₓ₀ h(x) = L significa que, para todo ε > 0, existe Δ > 0 tal que, se 0 < |x – x₀| < Δ então |h(x) – L| < ε.
Passo 2
Prova do primeiro caso (limₓ→ₓ₀ |f(x)| = 0 e g limitada): seja ε > 0 arbitrário. Pela hipótese de g, existe δ₂ > 0 tal que |g(x)| ≤ c sempre que 0 < |x – x₀| < δ₂. Como limₓ→ₓ₀ |f(x)| = 0, existe δ₁ > 0 tal que |f(x)| < ε/c sempre que 0 < |x – x₀| < δ₁. Então, tomando Δ = min{δ, δ₁, δ₂}, para 0 < |x – x₀| < Δ valem simultaneamente |g(x)| ≤ c e |f(x)| < ε/c. Daí
Isto mostra que limₓ→ₓ₀ f(x)g(x) = 0.
Passo 3
Para o segundo caso, basta notar que se limₓ→ₓ₀ f(x) = 0, então por um teorema de limites temos limₓ→ₓ₀ |f(x)| = |0| = 0. Logo todas as hipóteses do caso anterior se aplicam, e o produto f(x)g(x) ainda tende a 0.