Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
f(x)=2 x^2-6x^2-1

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas verticais e horizontais de
f(x)=2x^2-6x^2-1
e depois o esboço do gráfico. O conteúdo é análise de função racional: identificamos domínio, assíntotas, interceptos e comportamento em cada intervalo para desenhar os três ramos.

Passo 2

Determinar o domínio e as assíntotas verticais:
O denominador anula-se em
x^2-1=0Longrightarrow x=pm1,
logo o domínio é Rsetminus,-1,1 e há assíntotas verticais em
x=-1 e x=1
Para ver como f(x) diverge, calculamos limites laterais; por exemplo,
limxto1^-f(x)=+infty, limxto1^+f(x)=-infty
e
limxto-1^-f(x)=-infty, limxto-1^+f(x)=+infty

Passo 3

Determinar a assíntota horizontal:
Como o grau do numerador e do denominador é o mesmo, o limite em infinito é a razão dos coeficientes líderes:
limxtopminftyf(x) =limxtopminfty2x^2-6x^2-1 =21=2
Portanto há assíntota horizontal em
y=2

Passo 4

Calcular interceptos com os eixos:
  1. Eixo y: em x=0
f(0)=2cdot0^2-60^2-1=-6-1=6,
logo intercepto em (0,6).
2. Eixo x: numerador zero
2x^2-6=0Longrightarrow x^2=3 Longrightarrow x=pmraiz3,
logo interceptos em l(pmraiz3,0r).

Passo 5

Analisar o sinal e o comportamento em cada intervalo:
  • Para x<-1: x^2>3implies numerador positivo, denom. positivo implies f(x)>0. Em x=-raiz3 cruza o eixo x.
  • Em -1<x<1: x^2<1<3implies numerador !<0, denom. !<0 implies f(x)>0, com f(0)=6 e fto+infty em cada polo.
  • Para x>1: se 1<x<raiz3 numerador <0, denom. >0 implies f(x)<0 até cruzar em x=raiz3, e para x>raiz3 fica f(x)>0 e se aproxima de y=2 por baixo.

Passo 6

Esboço qualitativo do gráfico:
  • Três ramos separados pelas verticais x=-1 e x=1.
  • Todos se aproximam de y=2 quando |x|toinfty.
  • Ramo à esquerda ( x<-1): parte positivo para x<-raiz3, cruza em -raiz3, fica negativo até xto-1^-to -infty.
  • Ramo central ( -1<x<1): positivo, desce de +infty em -1^+ até mínimo em x=0 com f(0)=6, sobe para +infty em 1^-.
  • Ramo à direita ( x>1): de -infty em 1^+ sobe, cruza em +raiz3, fica positivo para x>raiz3 e tende a y=2^-.

Resposta

Assíntotas verticais:
x=-1, x=1
Assíntota horizontal:
y=2
Interceptos:
(0,6),l(pmraiz3,0r)
Gráfico: três ramos conforme descrito acima, aproximando-se de y=2 lateralmente e divergindo para pminfty em x=pm1.

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