Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
Passo 1
A função dada é f(x)=\frac{1+x}{x^{2}-1}. O conteúdo aqui é análise de assíntotas e esboço de gráfico de função racional, e vamos precisar usar fatoração, limites e ideia de cancelamento de fator para identificar descontinuidade removível.
Passo 2
Observe que x^{2}-1=(x-1)(x+1) e 1+x=(x+1), logo
O domínio original é x\neq\pm1, mas em x=-1 houve cancelamento, criando um buraco (descontinuidade removível).
Passo 3
Para assíntotas verticais, olhamos o denominador da forma simplificada: x-1=0 dá x=1. Em x=-1 não há assimptota vertical porque o fator (x+1) foi cancelado. Para assíntota horizontal, como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), temos y=0.
Passo 4
Calculamos limites para ver o comportamento perto das assíntotas:
Em x=-1 aparece um buraco em f(-1)=1/(-2)=-1/2.
Passo 5
O esboço do gráfico é o da hipérbole g(x)=1/(x-1) com:
- Assíntota vertical x=1;
- Assíntota horizontal y=0;
- Buraco em (-1,-1/2);
- Ramo para x>1 acima do eixo x (de +∞ em x\to1^+ decrescendo a 0 em x\to+∞);
- Ramo para x<1 abaixo do eixo x (de 0^- em x\to-∞ decrescendo a -∞ em x\to1^-).
Resposta
Assíntota vertical: x=1; assíntota horizontal: y=0; há descontinuidade removível em x=-1 (buraco em (-1,-1/2)); o gráfico é a hipérbole g(x)=1/(x-1) com esses ramos e assíntotas.