Determine as assintotas horizontais e verticais, depois esboce o gráfico das fun ções abaixo:
f(x)=1+xx^2-1

Passo 1

A função dada é f(x)=\frac{1+x}{x^{2}-1}. O conteúdo aqui é análise de assíntotas e esboço de gráfico de função racional, e vamos precisar usar fatoração, limites e ideia de cancelamento de fator para identificar descontinuidade removível.

Passo 2

Observe que x^{2}-1=(x-1)(x+1) e 1+x=(x+1), logo
f(x)=x+1(x-1)(x+1)=1x-1, xneq-1
O domínio original é x\neq\pm1, mas em x=-1 houve cancelamento, criando um buraco (descontinuidade removível).

Passo 3

Para assíntotas verticais, olhamos o denominador da forma simplificada: x-1=0 dá x=1. Em x=-1 não há assimptota vertical porque o fator (x+1) foi cancelado. Para assíntota horizontal, como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), temos y=0.

Passo 4

Calculamos limites para ver o comportamento perto das assíntotas:
limxto1^+f(x)=+infty, limxto1^-f(x)=-infty, limxtopminftyf(x)=0
Em x=-1 aparece um buraco em f(-1)=1/(-2)=-1/2.

Passo 5

O esboço do gráfico é o da hipérbole g(x)=1/(x-1) com:
  • Assíntota vertical x=1;
  • Assíntota horizontal y=0;
  • Buraco em (-1,-1/2);
  • Ramo para x>1 acima do eixo x (de +∞ em x\to1^+ decrescendo a 0 em x\to+∞);
  • Ramo para x<1 abaixo do eixo x (de 0^- em x\to-∞ decrescendo a -∞ em x\to1^-).

Resposta

Assíntota vertical: x=1; assíntota horizontal: y=0; há descontinuidade removível em x=-1 (buraco em (-1,-1/2)); o gráfico é a hipérbole g(x)=1/(x-1) com esses ramos e assíntotas.

Exercícios relacionados