Determine as assintotas horizontais e verticais do gráfico da função
f(x)=raiz2 x^2+13 x-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f(x) = raiz2x^2+13x-5 . Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções conforme x vai para infinito ou alguns valores específicos. Vamos dividir a resolução em etapas para ficar mais fácil de acompanhar!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem quando o denominador da fração se aproxima de zero, já que a função tende ao infinito nessas situações. Então, vamos encontrar os valores de x que fazem 3x - 5 = 0 .
Resolvendo 3x - 5 = 0 :
3x - 5 = 0 implies 3x = 5 implies x = 53
Então, temos uma assíntota vertical em x = 53 .

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Elas indicam o comportamento da função quando x vai para +infty ou -infty . Para encontrar isso, vamos calcular o limite de f(x) conforme x tende ao infinito.
Primeiro, observe a função:
f(x) = raiz2x^2+13x-5
Para facilitar, vamos simplificar o numerador:
raiz2x^2+1 = |x|raiz2 + 1x^2
Quando x tende a infty ou -infty , 1x^2 se aproxima de zero, então:
raiz2x^2+1 approx |x|raiz2 = raiz2 |x|
Agora, vamos dividir numerador e denominador por x :
f(x) approx raiz2 |x|3x - 5 = raiz2 |x|3x = raiz23 cdot |x|x
Para x positivo, |x|x = 1 , então:
limx to infty f(x) = raiz23
Para x negativo, |x|x = -1 , então:
limx to -infty f(x) = -raiz23
Isso significa que a função tem duas assíntotas horizontais:
y = raiz23 e y = -raiz23

Resposta

A função f(x) = raiz2x^2+13x-5 possui uma assíntota vertical em x = 53 e duas assíntotas horizontais em y = raiz23 e y = -raiz23 .

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