Determine as assintotas horizontais e verticais do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções conforme
vai para infinito ou alguns valores específicos. Vamos dividir a resolução em etapas para ficar mais fácil de acompanhar!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem quando o denominador da fração se aproxima de zero, já que a função tende ao infinito nessas situações. Então, vamos encontrar os valores de
que fazem
.
Resolvendo
:
Então, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Elas indicam o comportamento da função quando
vai para
ou
. Para encontrar isso, vamos calcular o limite de
conforme
tende ao infinito.
Primeiro, observe a função:
Para facilitar, vamos simplificar o numerador:
Quando
tende a
ou
,
se aproxima de zero, então:
Agora, vamos dividir numerador e denominador por
:
Para
positivo,
, então:
Para
negativo,
, então:
Isso significa que a função tem duas assíntotas horizontais:
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e duas assíntotas horizontais em
e
.