Seja f(x)= 0,006 x(10-x) & se 0 <= x <= 10 0 & se caso contrário á
(a) Verifique que f é uma função densidade de probabilidade
(b) Encontre P(4 <= X <= 8).

Passo 1

O enunciado define a densidade
f(x)= 0,006,x(10-x),&0<= x<=10, 0,&caso contrário á
Queremos (a) mostrar que f é uma densidade de probabilidade e (b) calcular
P(4<= X<=8)=integral4^8f(x),dx
Vamos precisar de integração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, verifique que f(x)>=0 em todo x: para 0<= x<=10 temos x(10-x)>=0, então 0,006,x(10-x)>=0, e fora desse intervalo f(x)=0.
Agora, calcule
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^100,006l(10x - x^2r),dx =0,006integral0^10(10x - x^2),dx
Uma primitiva de 10x - x^2 é
5x^2 - x^33,
portanto
integral0^10(10x - x^2),dx =l[5x^2 - tfracx^33r]0^10 =5cdot100 - 10003 =500 - 10003 =5003
Multiplicando por 0,006:
0,006cdot5003 =0,006cdot5003 =33 =1
Logo integral f(x),dx=1 e f é uma densidade de probabilidade.

Passo 3

Para P(4<= X<=8) montamos a integral
P(4<= X<=8) =integral4^80,006l(10x - x^2r),dx =0,006integral4^8(10x - x^2),dx

Passo 4

Calcule
integral4^8(10x - x^2),dx =l[5x^2 - tfracx^33r]4^8 =l(5cdot64 - tfrac5123r) -l(5cdot16 - tfrac643r) =2723
Multiplicando por 0,006:
P(4<= X<=8) =0,006cdot2723 =1,6323 =0,544

Resposta

(a) f é não negativa e integral-infty^inftyf(x),dx=1, logo é uma densidade.
(b) P(4<= X<=8)=0,544.

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