Determine se cada integral imprópria abaixo é convergente ou divergente.
integral0^infty(t^2+1)^-1 d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^inftydtt^2+1
O conteúdo é integrais impróprias com limite no infinito. Para resolver, vamos reescrever como limite de uma integral definida e verificar se esse limite é finito.

Passo 2

Observamos que a função f(t)=1t^2+1 é contínua em todo intervalo [0,R] para qualquer R>0. A impropriedade ocorre apenas no limite superior infinito, então definimos
integral0^inftydtt^2+1 = limRtoinftyintegral0^Rdtt^2+1

Passo 3

Calculamos a antiderivada de 1t^2+1, que é arctan t. Portanto,
integral0^Rdtt^2+1 = l[arctan tr]0^R = arctan R - arctan 0 = arctan R
Agora, tomamos o limite quando Rtoinfty:
limRtoinftyarctan R = pi2
Como esse limite é um número finito, a integral converge.

Resposta

A integral é convergente e seu valor é pi2.

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