Determine as assíntotas horizontais e verticais da seguintes funções:
f(x)=\frac{3 x^{2}-x+1}{x+2}

Passo 1

Temos a função
f(x)=\frac{3x^2 - x + 1}{x+2}
e queremos encontrar suas assíntotas verticais e horizontais. Isso envolve estudar limites:
– Onde o denominador zera (assíntotas verticais).
– Comportamento quando x\to\pm\infty (assíntotas horizontais).

Passo 2

Para achar a assíntota vertical, identificamos onde o denominador (x+2) se anula:
x+2=0 \implies x=-2.
O numerador em x=-2 vale
3(-2)^2 - (-2) + 1 = 12 + 2 + 1 = 15 \neq 0,
logo a função explode em x=-2. De fato,
\lim_{x\to -2^-}f(x)=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -2^+}f(x)=+\infty,
confirmando a assíntota vertical
x = -2.

Passo 3

Para a assíntota horizontal, comparamos os graus dos polinômios: o numerador é de grau 2 e o denominador de grau 1. Como o grau do numerador é maior, temos
\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty,
ou seja, não há convergência a uma reta horizontal. Portanto, não existe assíntota horizontal.

Resposta

Assíntota vertical: x=-2.
Não há assíntota horizontal.

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