Questão 4. Sabendo que a reta 2 x-3 y+1=0 é tangente ao gráfico da função f(x)=\frac{a}{x}, determine o valor de a e dê as coordenadas do ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado dá a reta
2x - 3y + 1 = 0
e a função
f(x) = \frac{a}{x},
e pede o valor de a e o ponto de tangência.
Conteúdo: derivada, inclinação da reta tangente e sistema que impõe igualdade de ponto e de inclinação.

Passo 2

Calculamos a inclinação da reta escrevendo y em função de x:
2x - 3y + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2x + 1}{3}.
Logo, a inclinação da reta é
m_{\text{reta}} = \frac{2}{3}.
A derivada de f é
f'(x) = -\,\frac{a}{x^2}.
Pelo critério de tangência, no ponto x_0 deve valer
f'(x_0) = m_{\text{reta}} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{a}{x_0^2} = \frac{2}{3}.

Passo 3

Da igualdade -a/x_0^2 = 2/3 isolamos a:
a = -\,\frac{2}{3}\,x_0^2.

Passo 4

O ponto de tangência (x_0,y_0) pertence à reta e à curva, então
y_0 = \frac{a}{x_0}, \quad y_0 = \frac{2x_0 + 1}{3}.
Igualando e substituindo a = -\tfrac{2}{3}x_0^2:
\frac{-\tfrac{2}{3}x_0^2}{x_0} = \frac{2x_0 + 1}{3} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{2}{3}\,x_0 = \frac{2x_0 + 1}{3}.
Multiplicando por 3 e resolvendo:
-2x_0 = 2x_0 + 1 \quad\Longrightarrow\quad -4x_0 = 1 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = -\frac{1}{4}.

Passo 5

Com x_0 = -\tfrac14, encontramos
a = -\,\frac{2}{3}\,\Bigl(-\tfrac14\Bigr)^{\!2} = -\,\frac{2}{3}\,\frac{1}{16} = -\frac{1}{24}.

Passo 6

O valor de y_0 vem de y_0 = a/x_0:
y_0 = \frac{-\tfrac{1}{24}}{-\tfrac{1}{4}} = \frac{1}{6}.

Resposta

a = -\tfrac{1}{24} e o ponto de tangência é \bigl(-\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{6}\bigr).

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